Электрические цепи, основные понятия и определения

Название	Электрические цепи, основные понятия и определения
Дата конвертации	09.04.2013
Размер	222.46 Kb.
Тип	Закон

Электрические цепи, основные понятия и определения.

Электрические цепи – совокупность устройств, предназначенных для создания, транспортировки, потребления электрической энергии.

Источник – устройство, в котором, какой – либо вид энергии преобразуется в электрическую (механическая, световая, химическая).

Приёмник – устройство, в котором электрическая энергия преобразуется в другой вид энергии.

Связь между источником и приёмником – соединительные элементы.

Обычно приёмники состоят из набора схем, схемы состоят из набора элементов. Пассивный параметр электрических цепей – потребитель.

Основные элементы электрической цепи (пассивные и активные).

Пассивные элементы потребляют электрическую энергию, активные – вырабатывают.

Любую электрическую цепь можно описать с помощью схемы, выполненной с помощью идеализированных элементов – резистивных, индуктивных, ёмкостных.

Резистивный элемент - Обозначение – R, r. Количественная характеристика: элемент с сопротивлением n Ом. Элемент, в котором электрическая энергия преобразуется в тепловую или в другой вид полезной энергии (лампа, электроплитка).

Мгновенные значения тока и напряжения:

i

З

акон Ома u = i r

Вольт – амперная характеристика:

r₁ > r₂при одном и том – же токе.

Понятие мгновенной мощности.

P = ui = i²r = u²g, где

– проводимость (измеряется в сименсах).

Индуктивный элемент. Количественная характеристика: индуктивность величиной n Гн (Генри). Элемент, в котором электрическая энергия преобразуется в энергию магнитного поля (идеализированный элемент). Преобразование в другие виды энергии отсутствует.

Реально к идеализированному элементу приближается катушки индуктивности, но также можно заменять связкой резистор + индуктивность.

i

u

Мгновенное значение:

Характеризуется ЭДС индукции (по законам Фарадея).

Могут присутствовать :

– потокосцепление и Ф – магнитный поток.

;

Вебер – амперная характеристика:

Нелинейный индуктивный элемент

Линейный индуктивный элемент

L

Ёмкостной элемент. Количественная характеристика – элемент ёмкостью n Фарад (микро- и пикофарады). Элемент, в котором электрическая энергия преобразуется в энергию электрического поля.

Конденсатор характеризуется: q – заряд конденсатора,

- изменение заряда

Для постоянного тока ёмкость представляет собой бесконечно большое сопротивление. Конденсатор и катушка индуктивности являются накопителями энергии.

Идеальные активные элементы: источники энергии.

Их характеристикой являются ЭДС и внутренне сопротивление.

r

Рассмотрим простейшую эл. цепь для постоянного тока и

U_пр₌ I r

U_{зажимов}= E – U_в

U_в = I r_в

Е

r_в

Е

ЭДС источника определяется разностью потенциалов на зажимах источника при отсутствии тока (стрелка от меньшего к большему, напряжение от большего к меньшему).

В соответствии с уравнением схема имеет вид.

r

Реальные источники заменили идеальными.

φ₁= φа, φ₂= φb

U приёмника =U источника

Характеристика источников питания:

Е идеальн.

Напряжение падает при увеличении нагрузки, I_к– ток короткого замыкания, Е – источник напряжения, ЭДС (внутреннее сопротивление отсутствует) – идеализированный источник питания.

– ток короткого замыкания.

P=EI – нагрузка – мощность источника напряжения.

P=I²r_в+I²r – полный расход мощности.

– допустимая плотность тока.

Первая эквивалентная схема источника энергии:

U=E-Ir_в

Ig=I_к-I

В цепи с этим элементом ток всегда постоянный и равен току источника тока I = I_k

Мощность источника – P_ит=U_кI_к.

Внутреннее сопротивление – r_в= ∞.

U_k

Мощность источника напряжения или тока может быть отрицательной – режим потребления энергии (заряда).

Схемы равноценны.

Любой реальный источник можно приблизить к источнику тока и напряжения.

Разветвлённые электрические цепи, их основные характеристики и уравнения, описывающие состояние цепи.

Допустим имеется электрическая цепь:

e₃

Электротехническое устройство, описанное с помощью идеализированных элементов.

Характеристика:

Ветвь электрической цепи – часть схемы, состоящая из последовательно соединённых элементов. Вдоль каждой ветви протекают одинаковые токи. Обозначаются одинаковыми индексами.
Узел – точка, в которой соединяются три или более ветвей.
Несколько ветвей могут образовывать замкнутый контур. Положительное направление обхода контура выбирается произвольно. При обходе контура ветвь и узел встречаются один раз. Контур типа «бесконечность» не бывает.
Выделяют главные (независимые контуры). Остальные являются их комбинациями. Число независимых контуров равно m = b – (y – 1).

Описание электрических схем с помощью графов.

Граф – направленный или ненаправленный отрезок, имеет ветви и узлы.

Дерево графа – часть графа (подграф), состоящая из ветвей, соединяющих все узлы, но не образующих замкнутых контуров.

Вариантов построения графов достаточно много.

Ветви связи – те ветви, которые не вошли в состав дерева графа (пунктирные).

Для каждого дерева свои ветви связи, но их число неизменно (в данной ситуации 3). С помощью ветвей связи очень удобно выделять независимые (главные) контуры. Берётся одна ветвь связи (только !) и дополняется ветвями контура (дерева).

Ветви дерева могут входить в несколько контуров.

Уравнения для описания электрической цепи. Законы Кирхгофа.

Рассмотрим эти законы для мгновенных значений, и они будут справедливы для любого состояния, для каждого момента времени.

1 закон Кирхгофа: алгебраическая сумма токов ветвей, подсоединённых к одному узлу, равняется нулю.  i = 0

Для каждого узла принимают положительное и отрицательное направление тока (например: к узлу и от узла).

i₁- i₅- i₃= 0

i₁- i₂- i₄= 0

i₂+ i₃+ i₆= 0

------------

-i₄- i₅+ i₆= 0

Число независимых уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа равно значению (у – 1), где у – число узлов, остальные являются их комбинацией.

Число неизвестных токов 6, поэтому составленных уравнений недостаточно для описания состояния схемы.

II закон Кирхгофа: алгебраическая сумма напряжений на элементах произвольного контура равна алгебраической сумме ЭДС этого контура.

Уравнение составляется для независимых контуров.

Правило: если положительное направление обхода контура и направление тока на элементе совпадают, то напряжение берётся со знаком (+), если нет, то со знаком (–).

Для первого контура

Для второго контура

Для третьего контура

В сумме получили 6 уравнений. Характер – интегрально-дифференциальный. Если уравнение только с резистивными элементами, то уравнение имеет алгебраический характер.

Методы расчёта электрических цепей на примере цепей постоянного тока. Применение законов Киргхофа для электрических цепей.

Рассмотрим цепь постоянного тока:

Задача расчёта электрической цепи (основная) – имеются сопротивления, ток и напряжения – необходимо рассчитать токи в ветвях.

Предварительное исследование цепи.

А) выбрать ветви и положительное направление токов, установить количество ветвей и узлов (в = 6, у = 4).

Б) вычертить граф – схемы и выбрать независимые (главные) контуры.

2. Составляем уравнения по первому закону Кирхгофа:

3. Составляем уравнения по второму закону Кирхгофа:

Подставляем числовые значения и решаем систему линейных уравнений.

Особенности использования законов Кирхгофа для схем с источниками тока.

Если в схеме присутствует ветвь с источником тока (сопротивление равно бесконечности), то уравнения по первому закону составляются все, но один ток будет известным, а уравнение для контура, где находится этот источник по второму закону не составляется:

число неизвестных становится на единицу меньше;
уравнение для этого контура составляется только для определения напряжения на зажимах источника.

При решении по законам Кирхгофа используется максимальное количество уравнений.

Пример.

Допустим, имеется схема с источником тока. Задача расчёта электрической цепи – имеются сопротивления, ток и напряжения – необходимо рассчитать токи в ветвях.

I_k

Предварительное исследование цепи.

а) выбрать ветви и положительное направление токов. Число ветвей в = 6, узлов

у = 4, ветвей с источником тока 1.

2. Составляем уравнения по первому закону Кирхгофа:

3. Составляем уравнения по второму закону Кирхгофа:

Подставляем числовые значения и решаем систему линейных уравнений.:

Метод контурных токов.

Идея метода: доказано, что вдоль каждого независимого контура протекает свой ток, и поэтому число токов равно числу независимых контуров (числу ветвей связи).

Токи в ветвях определяются совместным действием контурных токов протекаемых по этим ветвям.

В ветвях связи протекает только один контурный ток.

В ветвях дерева – несколько.

Вывод – достаточно рассчитать контурные токи.

Вывод системы уравнений для определения контурных токов.

токи ветвей дерева заменяются токами контура (по системе уравнений по первому закону Кирхгофа);
полученные выражения подставляем в систему уравнений, составленную по второму закону Кирхгофа;

получаем три уравнения с тремя неизвестными.

Правило знаков: если контурные токи в общих ветвях направлены в одну сторону, то ставим (+), а если – в противоположные стороны, то (-).

Составление системы уравнений для определения контурных токов произвольной схемы.

Допустим, имеется цепь, включающая n независимых контуров.

Имеем n независимых токов, и n – уравнений с n – неизвестными, где r_11, r₂₂, r₃₃…r_nn– соответственно сумма сопротивлений ветвей I, II … n – ного контура, это сопротивление берётся со знаком +. r₁₂= r₂₁– сумма сопротивлений, принадлежащих I и I I контурам - ветви дерева (знаки отличаются).

Правило знаков: если ток направлен встречно, то знак минус (контурные токи в общих ветвях). ЭДС справа пишутся по второму закону Кирхгофа.

Рекомендованный порядок расчёта:

1. Предварительный анализ.

2. Составление уравнений для определения контурных токов.

3. Подстановка цифровых данных и решение уравнения.

4. Определение токов в ветвях.

5. Определение баланса токов.

Особенности использования метода контурных токов (МКТ) для схем источника тока.

В этом случае ветвь с источником тока выделяется как ветвь связи.

Ветвь с источником тока входит только в один контур и контурный ток для этого контура равен току источника тока, для этого контура составления уравнения не требуется.

При составлении уравнений для других контуров этот контурный ток нужно учесть.

Пример.

Допустим, имеется схема с источником тока. Задача расчёта электрической цепи – имеются сопротивления, ток и напряжения – необходимо рассчитать токи в ветвях.

Предварительное исследование цепи.

а) выбрать ветви и положительное направление токов. Число ветвей в = 6, узлов

у = 4, ветвей с источником тока 1.

I_k

2. Для данной схемы рассчитаем контурные токи. Вывод системы уравнений для определения контурных токов.

а) токи ветвей дерева заменяются токами контура (по системе уравнений по первому закону Кирхгофа);

б) полученные выражения подставляем в систему уравнений, составленную по второму закону Кирхгофа (т.к. в третьем контуре мы имеем источник тока, то для этого контура уравнение по второму закону Кирхгофа не составляется);

3. Получаем 2 уравнения с двумя неизвестными.

Метод узловых потенциалов.

1. Напряжение на участке цепи (Закон Ома).

Если известно напряжение на зажимах ветви, то легко определить ток в этой ветви по закону Ома.

Идея метода (МУП): один из узлов схемы заземляется и его потенциал принимается равным нулю. Определяются потенциалы остальных узлов (определяем напряжение на зажимах каждой ветви). Используя закон Ома, определяем токи в ветвях.

3. Вывод системы уравнений для определения потенциалов узлов.

Допустим имеется схема:

Заземлим 3 узел и допустим, что φ₃= 0.

Потенциалы остальных узлов будут соответственно φ₁и φ₂.

Используя закон Ома запишем уравнения для токов в каждой ветви.

Уравнения по первому закону Кирхгофа для первого и второго узлов.

Выражения для токов подставим в уравнения составленные выше.

В результате получим:

Имеем два уравнения с двумя неизвестными (МУП основан на законе Ома и первом законе Кирхгофа).

Потенциал φ₁умножается на сумму проводимостей непосредственно подсоединённых к этому узлу, затем берётся со знаком (–) второй потенциал и умножается на проводимости, которые непосредственно соединяют данные узлы. Всё это равно алгебраической сумме источников тока.

Запишем систему уравнений для определения потенциалов произвольной схемы.

Допустим, имеется электрическая схема, содержащая n + 1 узлов. Заземляем один узел и имеем n неизвестных потенциалов (соответственно n уравнений).

Система n уравнений с n неизвестными

где g_11, g₂₂, g₃₃…g_nn–соответственно сумма проводимостей ветвей, подсоединённых соответственно к 1, 2, 3 ….. n – ному узлу (всегда со знаком +).

где g₁₂= g₂₁и g₂₃= g₃₂ – сумма проводимостей ветвей соединяющих непосредственно 1 и 2 узел и т.д.

Сумма токов источников напряжения

Правило знаков: если ЭДС источника направлена к узлу, то будет со знаком (+), а от узла – со знаком (-).

Рекомендованный порядок решения МУП:

Предварительный анализ.
Заземляем один узел (произвольно). Принимая его потенциал равный нулю.
Составляем уравнение для определения потенциала остальных узлов.
Подставляем числовые данные и решаем систему уравнений.
С помощью закона Ома определяем токи в отдельных ветвях.

МУП особый случай (для электрических схем, содержащих ветви только с одним источником напряжения).

Заземляем один из двух узлов. Тогда φ следующего узла будет известен (равен потенциалу источника напряжения), а для остальных узлов по общему правилу.

Дальнейший расчёт ведётся в том же порядке.

Основные теоремы электрических цепей.

Теорема о балансе мощностей.

Мощность, генерируемая источниками питания схемы, равняется мощности, потребляемой приёмниками.

- мощность генерируемого всеми источниками питания (источника тока нет).

- баланс мощности для схем с источником тока (напряжение U_копределяется с помощью второго закона Кирхгофа).

Правило знаков: (+) когда Е и I совпадают по направлению. Возможен вариант когда один из источников схемы ЕI будет отрицательным, это означает, что источник питания работает в режиме потребления,

Метод наложения.

Теорема (принцип наложения): токи в разветвлённых электрических цепях определяются как алгебраическая сумма токов от каждого источника в отдельности.

Поочерёдно рассчитываются токи от действия каждого источника в отдельности. При этом остальные источники изымаются из схемы и вместо них ставится их внутреннее сопротивление (закоротка – источник напряжения, разрыв – источник тока). Затем токи в ветвях алгебраически суммируются с помощью знака.

Пусть имеется схема:

Рекомендованный порядок расчёта рассмотрим на примере:

Предварительный анализ: схема содержит два источника питания, ветвей 5, с источником 1, следовательно, неизвестных ветвей 4.

Рассчитываем токи от действия источника Е₁.

.1. Удаляем из схемы источник тока и вычерчиваем полученную схему.

1.2. Определяем полное сопротивление цепи.

Определяем частичные токи от действия источника Е₁.

Определяем токи от действия источника напряжения.

.1. Удаляем из схемы источник напряжения и вычерчиваем полученную схему.

3

2.2 Определяем полное сопротивление цепи:

Рассчитываем токи в цепи:

Определяем токи в исходной схеме, как алгебраическую сумму частичных токов:

Метод эквивалентного генератора.

Метод применяют в том случае, если необходимо определить ток в одной ветви разветвлённой схемы.

Идея метода: выделяется ветвь, в которой необходимо определить ток, всю остальную часть схемы представляют в виде активного двухполюсника, его заменяют эквивалентным источником питания (генератором). В результате получим простую одноконтурную схему, где легко находим ток.

I = E / (r + r_в) = U_хх/r + r_в

Внутреннее сопротивление источника равно входному сопротивлению пассивного двухполюсника, полученного из активного, путём изъятия из схемы источников и замены их внутренними сопротивлениями.

Д

оказательство: имеем схему.

К последней схеме применим метод наложения.

Алгебраическая сумма токов активного двухполюсника и первого источника равна нулю, поэтому ток можно определить как ток от вновь добавленного источника с напряжением U_xx_, вместо активного двухполюсника включаем пассивный.

Пример.

Пусть имеется схема и необходимо определить ток в 3 ветви.

Определяем U_xx_.

Удаляем r₃из схемы и вычерчиваем схему активного двухполюсника.

Определяем токи в схеме двухполюсника.

1.2 Определяем U_xxпо второму закону Кирхгофа.

2.Определяем входное сопротивление.

2.1. Вычерчиваем схему пассивного двухполюсника.

2.2. Определяем входное сопротивление:

3. Определяем ток I ₃:

Свойства взаимностей.

Теорема взаимности формулируется следующим образом: для любой линейной цепи ток в к-ветви, вызванный источником ЭДС Е_m, находящимся в m–ветви, I_k= E_mg_km равен току I_m в m-ветви, вызванному источником ЭДС Е_k (численно равной ЭДС Е_m), находящимся в к-ветви, I_m= E_kg_mk.

П
1

2
усть имеется пассивный четырёхполюсник:

Получим:

если

Получим равные сопротивления:

Взаимные проводимости тоже равны:

Теорема компенсации.

В уравнениях

составленных по второму закону Кирхгофа, напряжение на любом сопротивлении U_i=r_iI_i можно всегда из левой стороны перенести в правую со знаком минус и рассматривать как эквивалентную ЭДС E_i=U_i, направленную противоположно току в ветви i . Это положение носит название принципа компенсации. Его иллюстрируют (рис.1,рис.2) на которых прямоугольником с буквой А (активный) обозначены все участки цепи, кроме элемента с сопротивлением r_i . Очевидно, что обе схемы эквивалентны, если E_i = r_iI_i, при этом следует иметь в виду, что эквивалентная ЭДС E_іпрямо пропорциональна току I_i в ветви (закон Ома), т.е. зависит от тока. Таким образом, источник ЭДС, которыми можно заменить любой резистивный элемент цепи, соответствует простейшему идеальному зависимому источнику, ЭДС которого зависит от тока по известному закону. Понятие о зависимом источнике широко применяется при анализе как линейных, так и нелинейных цепей. Сопротивление r_iможет быть и входным сопротивлением любого пассивного двухполюсника.

Любую ветвь с известным источником I_i можно заменить источником тока J_i= I_i , при этом режим цепи не изменится.

Методы преобразования электрических цепей.

Некоторые методы уже были изучены – последовательные и параллельные соединения заменяются эквивалентным.

I_k=E / r; - метод преобразования источников питания.

Рассмотрим другие методы.

Имеются разветвлённые ветви, все объединены одним источником тока.

Необходимо избавиться от ветви с источником тока так, чтобы не произошло никаких энергетических изменений.

Эти преобразования справедливы, так как в узлах 2 и 3 мы добавили источник тока I_kи из-за этого баланс энергетических соотношений не изменился.

По первому закону Кирхгофа соотношения выполняются, второй закон Кирхгофа мы не изменяли.

Ветвь с источником тока заменили источником напряжения:

Е_1э=I_kr₁; Е_2э=I_k r₂; Е_3э=I_k r₃;

В каждую ветвь, подключённую к одному узлу можно добавить по одинаковому источнику напряжения одинаковой величины и одинаково направленными (к узлу или от узла).

Доказательство: по второму закону Кирхгофа – при обходе контура один раз проходим узел и в узле имеем + и – ЭДС, они взаимно уничтожаются.

Если есть ветвь только с одним источником напряжения, то туда можно включить противоположный источник напряжения и тогда количество узлов уменьшается на один.

Следующий вид преобразований:

Доказательство: применим метод узловых потенциалов.

Преобразуем схему по принципу:

Можно произвести следующие преобразования:

r_в

U_ab=I_a

I_b=0

Преобразование звезды сопротивлений в эквивалентный треугольник и наоборот.

I₃

I₂

Преобразуем трех лучевую звезду сопротивлений в эквивалентный треугольник сопротивлений.

Звезда

сопротивлений

Вместо схемы «треугольник» с сопротивлениями r_1, r₂, r₃нужно подобрать схему «звезда» с сопротивлениями r_12, r₂₃, r₃₁так, чтобы никаких энергетических изменений в остальной схеме не произошло, т.е. I₁= I₁…. φ₃= φ_3.

Возможен и обратный эквивалентный вид преобразований.

Вывод формул преобразования (рассматриваем схему треугольника):

Запишем 2-й закон Кирхгофа:

I₁₂r₁₂+I₂₃r₂₃+I₃₁r₃₁= 0 (1)

(2)
I₂₃=I₂+I₁₂

I₃₁ = I₁₂ + I₁

Подставим(2) в (1);

I₁₂(r₁₂+ r₂₃+ r₃₁) – I₂₃r₂₃+I₃₁r₃₁= 0

(3)

(4)

Схема звезда: U₁₂= I₁r₁- I₂r₂

Сравниваем (3) и (4)

Так как схемы эквивалентные то напряжение одинаково и коэффициенты при I₁ и I₂ тоже должны быть одинаковыми:

Пример преобразований треугольника сопротивлений в звезду сопротивлений:

r₆

r₂

4

1

r₃

r₂

r₁

R₃

R₂

R₁

E₁

E₃

r₅

r₄

E₁

E₃

r₁

r₃

етвей 6 Ветвей 3

Узлов 4 Узлов 2

После преобразования произошло упрощение схемы. Вместо 6-ти ветвей в первой схеме получили 3-и ветви во второй, вместо 4-х узлов в первой схеме получили 2-а узла во второй.

Добавить документ в свой блог или на сайт

плохо

не очень плохо

средне

хорошо

отлично

Ваша оценка этого документа будет первой.

Ваша оценка:

	1. Термодинамика основные понятия и определения. Основные параметры состояния газов. Уравнения состояния идеального газа		Тема: «Введение. Основы безопасности жизнедеятельности, основные понятия, термины и определения»
	Электрические цепи с индуктивностью (ликбез)		Термодинамика. Основные понятия и определения. Термодинамические процессы - Программа. Основные понятия, физическое состояние, законы идеальных газов В данной работе рассматриваются следующие вопросы. Основные понятия, физическое состояние, законы идеальных газов. Плотность, давление,...
	Медицинская подготовка понятия и определения, используемые в «медицинской подготовке» Аварийно-спасательные работы		Существуют два основных определения понятия биосфера, одно из которых известно со времени появления в науке данного термина. Это понимание биосферы как совокуп
	Основные понятия химии		Основные понятия и термины по Ботанике
	Основные понятия квантовой механики		1. Основные понятия «безопасности организации»

Электрические цепи, основные понятия и определения