Основные понятия квантовой механики
|
Скачать 189.75 Kb.
|
| Лекции по квантовОЙ МЕХАНИКЕ прочитанные профессором Олейником В.П. на физмате КПИ в 1997-2006 гг. Часть I. Нерелятивистская теория Лекция 1. Введение в квантовую механику. Лекции 2-3. Основные понятия квантовой механики. Лекция 4. Измерение физических величин в квантовой механике. Лекции 5-6. Уравнение Шредингера. Лекции 7-9. Простейшие задачи квантовой механики. Лекции 10-11.Момент импульса микрочастицы. Лекция 12. Движение микрочастицы в кулоновском поле. Лекции 13-14. Теория возмущений. Лекция 15. Теория столкновений. Лекции 16-17. Системы одинаковых квантовых частиц. Вторичное квантование. Лекция 1. Введение в квантовую механику Содержание
1. Немного истории. Предмет квантовой механики Мы приступаем к изучению раздела курса теоретической физики «квантовая механика». Напомню, что курс теоретической физики состоит из следующих разделов:
Причём статистическая физика состоит из квантовой статистической физики и классической. Первые три раздела – это классическая физика. Четвертый раздел представляет собой квантовую физику. Приведенная последовательность разделов курса определяет место квантовой механики в общей схеме курса теоретической физики и связь её с другими разделами. Что же изучает квантовая механика? Зачем нужна квантовая механика? Почему нельзя ограничиться классической физикой? Прежде чем ответить на эти вопросы, остановимся кратко на некоторых фактах из истории квантовой механики. Квантовая механика - сравнительно молодой раздел физики. Его возраст составляет чуть больше 100 лет. Идея кванта энергии, знаменитая формула  , впервые появилась в работе Планка, которую он доложил в самом конце 1900 г. (14 декабря) на заседании Берлинского физического общества. Этот момент можно считать временем зарождения квантовых представлений. Временем рождения квантовой механики принято считать 1925 г., когда было сформулировано основное уравнение квантовой динамики - уравнение Шредингера.Давайте перенесемся в историю развития физики еще на 30-40 лет назад, чтобы проследить, на каком этапе находилась физика перед возникновением квантовой механики. Итак, мы во второй половине XIX века. Что можно сказать об уровне развития физики в то время? Прошло несколько десятилетий после открытия Максвеллом уравнений электромагнитного поля и написания основополагающих работ по статистической физике – работ Больцмана. Эти результаты - величайшее достижение физики. Новые теории были применены к описанию явлений электромагнетизма и статистической физики и были получены замечательные результаты – согласие предсказаний теории и экспериментальных данных практически по всем проблемам, за исключением двух проблем, о которых скажем чуть позднее. Поскольку практически всё в физике было понято и описано, это дало основание считать, что физика как наука полностью завершена. Общее мнение подавляющего большинства физиков того времени было единодушным: фундамент физики полностью построен, так что в физике уже нечего делать. Напомню курьёзную историю, которая приключилась с Планком - автором квантовой гипотезы. При выборе профессии Планк долго колебался между физикой и музыкой. Эти колебания разрешились в пользу физики, и он решил полностью посвятить себя этой науке. Оканчивая университет в Мюнхене (1878 г), Планк пришёл к своему учителю (это был профессор Жолли) за советом и сказал, что хочет заняться теоретической физикой. На это профессор ответил: «Молодой человек, зачем вы хотите испортить себе жизнь, ведь теоретическая физика уже практически закончена. Остаётся рассмотреть отдельные частные случаи с изменёнными граничными и начальными условиями. Стоит ли браться за такое бесперспективное дело?». В свете бурного развития физики в последующие десятилетия эти слова звучат как анекдот, но они отражают психологическую атмосферу в обществе в определённые периоды развития науки, которые неизбежно повторяются. Повторяю: после работ Максвелла и Больцмана, после того, как появилось множество физических приложений теории, из которых вытекала высокая эффективность теории, почти все были убеждены в том, что здание физики уже построено. Общее мнение физиков того времени хорошо выражают слова: на светлом небосклоне физики имеются лишь два небольших тёмных облачка – теория излучения абсолютно чёрного тела и эксперименты Майкельсона. Но эти две проблемы казались малозначительными, не делающими погоды. Казалось несомненным, что они будут решены на основе общепринятых представлений. Теперь мы знаем, сколь ошибочным было мнение большинства: из двух небольших облачков выросли теория квантов и теория относительности – два кита, на которых стоит современная физика. Для устранения двух облачков потребовался революционный переворот в физических представлениях. Время, о котором сейчас идет речь (последняя четверть XIX века), можно назвать временем застоя в науке. Период застоя – это период накопления новых фактов, когда на основе существующих теоретических представлений, без привлечения новых идей, стремятся объяснить и описать физические процессы. Развитие научных представлений в обществе можно было бы изобразить с помощью графика, откладывая на вертикальной оси  - количество новых фундаментальных физических идей, а на горизонтальной оси  – время их появления: Рис. Зависимость количества новых фундаментальных физических идей от времени их возникновения. Восходящие участки кривой относятся к периодам расцвета физики, а горизонтальные участки – к периодам застоя, переходящим в кризис. Пунктирный участок кривой изображает начало нового периода расцвета в физике.На период 1860-1875 гг. приходится большое число новых идей и теорий. Это – время расцвета физики. Кривая круто идет вверх. Затем развитие замедляется, рост кривой прекращается. Это – застой, переходящий в кризис, когда фундаментальные идеи почти не появляются. Но законы развития науки (общества) таковы, что застой неизбежно сменяется новым подъёмом, который сопровождается ломкой старых взглядов и представлений и возникновением существенно новых физических идей. И вот новый подъём:
Это вершины, основные вехи развития физики. Сущность тех процессов, которые происходят в науке в тот переломный момент, когда подавляющее большинство искренне верит в истинность и завершенность общепринятой системы взглядов о природе, хорошо передают слова известного историка Льва Гумилёва: «Конец и вновь начало». Так называется одна из его книг, которую я бы очень посоветовал прочитать. То, что для большинства кажется венцом развития, истиной в последней инстанции, оказывается лишь завершением некоторого этапа развития, началом нового, трудного восхождения, ведущего к коренной ломке устоявшихся взглядов и представлений и формированию новых представлений. Слова «конец и вновь начало» совершенно точно передают содержание текущего момента в развитии физики. Застой, длящийся в физике уже несколько десятилетий, постепенно сменяется новым подъемом. Мы входим в полосу революционных потрясений основ физики. И главным героем надвигающихся событий снова оказывается электрон, как и сто лет назад. Причина заключается в том, что электрон – это уникальная частица, хранящая в себе глубочайшие тайны природы, степень раскрытия которых определяет научно-технический уровень развития общества. Значение электрона для понимания физической картины мира прекрасно выражают слова В. Томсона: «Скажи мне, что такое электрон, и я объясню тебе все остальное». Теперь пора вернуться к вопросу: зачем нужна квантовая механика? Квантовая механика как особый раздел физики необходима по той причине, что поведение квантовых частиц подчиняется особым, квантовым законам, существенно отличающимся от законов классической физики. Предмет квантовой механики можно определить следующим образом: это раздел физики, в котором изучаются законы, управляющие поведением микрочастиц. 2. Квантовая гипотеза Планка День рождения квантовых представлений – 14.12.1900. Предварительные результаты были доложены немного раньше – 19 октября 1900 г., когда была доложена работа, в которой выведена новая формула для излучения. Эта работа была опубликована в 1901 г. Напомню, что основной энергетической характеристикой равновесного теплового излучения является плотность энергии  . Мы ограничимся излучением абсолютно чёрного тела, т.е. такого тела, которое полностью поглощает электромагнитное излучение, падающее на тело.Величина  содержит вклад электромагнитных волн всех частот, поэтому , (1)где  - спектральная плотность энергии,  - доля плотности энергии, приходящаяся на интервал частот  в окрестности частоты  ,  - абсолютная температура, при которой излучение находится в состоянии равновесия с веществом.Если имеется тело в полости, ограниченной замкнутой оболочкой, стенки которой поддерживаются при  , то внутри полости устанавливается равновесие между телом и электромагнитным излучением. Пусть оболочка имеет идеально отражающие стенки. Тело испускает электромагнитные волны, которые отражаются стенками оболочки, падают на тело и поглощаются им. В состоянии равновесия тело поглощает в единицу времени столько же энергии, сколько и отдаёт в виде электромагнитного излучения (теплового излучения).В классической статистической физике доказывается теорема о равномерном распределении энергии молекул по степеням свободы в состоянии теплового равновесия: на каждое электромагнитное колебание приходится в среднем энергия, равная  (2)(величина  приходится на энергию электрического поля и столько же - на энергию магнитного поля). Основываясь на этой теореме, легко вывести следующую формулу: . (3)Это формула Релея-Джинса. Она даёт хорошее согласие с опытом при малых частотах (при  , см. рис.). Рис. Зависимость спектральной плотности энергии  от частоты : пунктирная кривая отвечает формуле Релея-Джинса, а сплошная – описывает экспериментальные данные.Однако подстановка (3) в (1) приводит к бесконечности:  . Этот результат, называемый ультрафиолетовой катастрофой, означает, что классическая теория неспособна правильно описать тепловое излучение. В поисках выхода из указанного затруднения Планк предположил, что электромагнитное излучение испускается и поглощается телом в виде отдельных порций с энергией  : . (4)Используя распределение Больцмана для энергии электромагнитных колебаний (энергия колебания составляет  ,  )  ,где  - вероятность того, что энергия электромагнитного колебания равна  , вычислим среднее значение энергии, приходящейся на одно колебание: .Расчет дает:  . (5)Отметим, что формула (5) совпадает с (2) лишь в классическом пределе, т.е. при . Умножая  на число электромагнитных колебаний в интервале и объёме  ,  , получаем формулу Планка: , (6)где  Дж - квант действия (постоянная Планка). Оказалось, что формула Планка хорошо описывает экспериментальные данные. Эта формула не приводит и к ультрафиолетовой катастрофе.3. Световые кванты Таким образом, с одной стороны, свет - это электромагнитные волны, а с другой – свет, согласно гипотезе Планка, испускается и поглощается в виде отдельных порций. И получается так, как если бы свет состоял из отдельных частиц. Классическая физика исходит из того, что существует принципиальное различие между волнами и частицами (корпускулами). Классическая частица – это сгусток вещества, комочек материи, сосредоточенный в очень малом объёме. Волна же – такой материальный объект, который занимает более или менее значительные области (линейные размеры которых  ,  - длина волны), так как это периодический процесс. Частица движется по траектории. Применительно же к волне понятие траектории не имеет смысла. Волны могут интерферировать, испытывать дифракцию при их наложении. Частицы же к этому не способны. Можно сказать, что движение по траектории и волновое движение – качественно различные виды движения: это несовместимые противоположности.Как видим, гипотеза Планка коренным образом противоречит законам классической физики. Гипотеза Планка – это первый шаг к объединению корпускулярных и волновых представлений об электромагнитном излучении, т.е. к синтезу противоположностей. Заметим, что, согласно представлениям классической механики, энергия, как и любая другая величина, обязана изменяться непрерывно.  Нужно сделать, однако, оговорку: с дискретностью физических величин сталкивалась уже классическая физика. Представьте себе струну с закреплёнными концами. Если её встряхнуть, возникнут стоячие волны. Частоты стоячих волн имеют строго определённые значения:  ,  – скорость волны,  ,  , a – длина струны (равенство  представляет собой условие того, чтобы на границах струны были узлы). Следующий шаг был сделан Эйнштейном в 1905 г. Если электромагнитные волны испускаются и поглощаются порциями, то естественно полагать, что эти порции являются особыми частицами. Эти частицы будем называть квантами света, или фотонами. Но согласно СТО, если частица имеет энергию, то она имеет и импульс. Значит, фотон обладает энергией и импульсом. Так как фотоны – кванты электромагнитной волны, которая распространяется со скоростью света с, то, значит, скорость фотонов в любой инерциальной системе отсчёта равна с. Согласно специальной теории относительности (СТО)  . (7)Это равенство определяет массу движения фотона (релятивистскую массу):  . (8)По определению, импульс  . Значит, импульс фотона . (9)Но  . (10)Следовательно, масса фотона  представляет собой неопределенность вида  , и эта неопределенность раскрывается по формуле (8). Итак, фотон – особая частица с массой покоя  , которая движется со скоростью света в любой инерциальной системе отсчёта. Инерциальной системы отсчёта, в которой фотоны покоились бы, не существует. Для фотонов справедливы соотношения (11)где  - волновое число. Глубокий физический смысл равенств (11) состоит в том, что они связывают между собой корпускулярные характеристики (энергию  и импульс  ) с волновыми ( и  ). Тем самым эти соотношения указывают на то, что свет обладает и волновыми, и корпускулярными свойствами, взаимно дополняющими друг друга. Это и есть корпускулярно-волновой дуализм электромагнитного излучения. Равенства (11) представляют собой математическую формулировку корпускулярно-волнового дуализма. Таким образом, свет имеет квантовую природу. Представления о квантовой природе света получают, благодаря СТО, логически законченную форму. Возникает вопрос: что представляют собой фотоны? Они не могут быть частицами, обладающими свойствами обычных классических частиц, не могут быть локализованы в какой-либо точке пространства. Согласно (11), квант света – это порция монохроматической волны, характеризующаяся определенной частотой и волновым вектором . Такая волна – это чисто периодический процесс, бесконечный во времени и в пространстве. Если допустить, что квант света локализован где-то в пространстве, то сразу же приходим к противоречию с исходным допущением о монохроматической волне. Еще один вопрос, который адресуем читателю: что представляет собой электромагнитное поле? Можно ли утверждать, что это поле сводится к совокупности фотонов?
Одним из важнейших, принципиальных вопросов электродинамики является вопрос о механизме взаимодействия электромагнитного излучения с веществом. Ответ на него – важнейшая задача физики. Напомню, в чём состоит классический механизм. Если заряженную частицу поместить в электромагнитное поле, то возникает действующая на частицу сила Лоренца, под влиянием которой частица совершает вынужденные колебания. На процесс раскачивания частицы затрачивается энергия электромагнитной волны – происходит поглощение энергии электромагнитного поля заряженной частицей. Но колебания частицы являются ускоренным движением, при ускорении частицы способны излучать электромагнитные волны. Следовательно, часть энергии частица испускает в виде электромагнитных волн. Значит, классический механизм состоит в вынужденных колебаниях заряженной частицы в электромагнитном поле, в результате которых частица поглощает и одновременно испускает электромагнитные волны. Каков же квантовый механизм взаимодействия излучения с веществом? С квантовой точки зрения, взаимодействие света с веществом представляет собой столкновение фотонов с частицами вещества, при котором происходит обмен энергией и импульсом между электронами, атомами, молекулами, с одной стороны, и световыми квантами - с другой. Этот обмен приводит к излучению и поглощению электромагнитных волн веществом. Образно говоря, электромагнитное излучение – это фотонный газ, частицы которого непрерывно сталкиваются с частицами вещества, обмениваясь с ними энергией и импульсом (и другими физическими характеристиками). К элементарному акту столкновения фотона с частицей вещества естественно применить законы сохранения энергии и импульса, ибо они имеют универсальный характер. Пусть  и  - энергия и импульс некоторой физической системы, а  и  - энергия и импульс фотона в начальном состоянии, т.е. до взаимодействия света с физической системой. Далее,  и  - энергия и импульс той же системы,  и  - энергия и импульс фотона в конечном состоянии, после указанного взаимодействия. Физическая картина взаимодействия заключается в том, что рассматриваемая система поглощает один квант света с энергией и импульсом и излучает другой – с и . При этом сама система совершает переход  (,) (,)из одного состояния в другое.  Законы сохранения, описывающие рассматриваемый процесс, могут быть записаны так:  (12)Эти равенства описывают три типа различных процессов, происходящих при взаимодействии:
Указанные процессы называются квантовыми, так как они происходят с участием квантов света. Законы сохранения (9) невозможно понять с классической точки зрения. Согласно волновой теории света, энергия электромагнитной волны определяется не частотой , а амплитудой. Действительно, плотность энергии электромагнитного поля .Но поскольку амплитуда волны никак не связана с ее частотой, то в рамках волновой теории нельзя вывести какое-либо общее соотношение, связывающее энергию света с частотой. Рассмотрим примеры квантовых процессов. Фотоэффект – это вырывание электронов из металла под действием электромагнитной волны. На квантовом языке происходит следующее: в начальном состоянии имеется электрон, связанный с проводником, и фотон с энергией . Чтобы вырвать электрон из металла и перевести его из связанного состояния в свободное, нужно произвести некоторую работу. Та наименьшая работа, которую нужно произвести, чтобы вырвать электрон из металла, называется работой выхода, обозначим ее через А. Значит, в начальном состоянии имеется электрон с энергией  , знак « - » означает, что электрон находится в связанном состоянии в металле, и фотон с энергией . В результате взаимодействия фотон поглощается, а электрон переходит в свободное состояние с энергией  . Кроме того, часть энергии превращается в тепловую энергию, т.к. вырванный электрон сталкивается с окружающими атомами и передаёт им часть энергии. Обозначая эту энергию через Епотерь (это энергия потерь), получаем закон сохранения: .Если  , то получаем электрон с максимальной скоростью, vmax: =А+  . (13)Отсюда наименьшее значение частоты фотона, способного вырвать электрон, составляет:  (красная граница). Фотон вырывает электрон из металла, если его энергия достаточно велика, а именно: если она превышает  . Уравнение (13) известно как уравнение Эйнштейна для фотоэффекта. Тормозное рентгеновское излучениеП  оток электронов, испущенных катодом, падает на анод. Электрон, падая на анод, тормозится и испускает рентгеновские кванты. Если U – напряжение между катодом и анодом, то непосредственно перед столкновением энергия электрона равна  . Если  – энергия электрона после столкновения, - энергия испускаемого кванта, то получаем закон сохранения: .Но т.к.  , то отсюда    / =max – это максимальная частота рентгеновских фотонов. Значит  - это наименьшая длина волны рентгеновских квантов. Получаем коротковолновую границу рентгеновского тормозного излучения: в тормозном излучении имеются лишь фотоны с длиной волны  ,  . Как видим, рассматриваемое явление, как и фотоэффект, - чисто квантовое.Комптон-эффект – это рассеяние электромагнитной волны на свободных электронах. В результате рассеяния изменяется частота волны. Вычисления показывают, что разность частот падающей и рассеянной волн зависит от угла  между направлениями падающей волны и рассеянной:  , где  - некоторая функция. Приведем формулу для разности длин волн: (14)Согласно (14),  . Величина  м (15)называется комптоновской длиной волны электрона. Как видно из (14), Комптон-эффект - это тоже существенно квантовый эффект. 5. Гипотеза де Бройля. Дифракция электронов В 1924 г. Луи де Бройль выдвинул идею о том, движение любой частицы вещества представляет собой волновой процесс, частота и волновой вектор которого определяются равенствами (см. (11))  ,где Е и - энергия и импульс частицы. Подставляя во второе из приведенных равенств формулу  , получаем формулу де Бройля  . (16)Величина в (16) называется дебройлевской длиной волны. Идея о существовании волновых свойств у частицы получила название гипотезы де Бройля.Гипотеза де Бройля была встречена очень настороженно. Это было связано с тем, что в то время отсутствовали какие-либо опытные данные, её подтверждающие. Отметим, что для макротел длина волны де Бройля очень мала. Так, если m=1г ,  , то м.В настоящее время удаётся измерять расстояние  м. Значит, обнаружить волновые свойства макротел совершенно невозможно. Но волновые свойства микрочастиц вполне обнаружимы. В самом деле, масса электрона  кг. Эта величина на 27 порядков меньше той, что мы взяли выше для оценки. Поэтому  м – это уже макроскопические размеры (сравним с боровским радиусом  м).Физическое содержание гипотезы де Бройля состоит в том, что корпускулярно-волновой дуализм распространяется на любые частицы вещества. Корпускулярно-волновой дуализм – общее, универсальное свойство движений в микромире. Гипотеза де Бройля была экспериментально подтверждена в 1927 г. Томсоном и Тартаковским. Схема опытов Томсона-Тартаковского (Тартаковский ставил опыты независимо от Томсона) такова. Пучок электронов проходит через тонкую металлическую фольгу, рассеивается на ней и падает на экран с фотопластинкой, которая засвечивается при попадании на нее электронов.  Согласно классической теории, при достаточно большой экспозиции фотопластинка должна быть равномерно зачернена с максимумом почернения, отвечающим центру пластинки (см. пунктирную кривую на рис.). На самом же деле возникает дифракционная картина – чередование максимумов и минимумов (см. сплошную кривую). Если посмотреть на фотопластинку «в анфас», то увидим дифракционные кольца. Зная расстояние между кольцами, можно вычислить длину волны . Полученные результаты согласуются с формулой де Бройля.Справедливо и обратное утверждение: любому волновому процессу с частотой и длиной волны отвечает поток частиц с энергией  и импульсом  . Так, электромагнитному полю отвечают фотоны, полю упругих колебаний в кристалле – фононы и т.д.Отметим, что если соотношения  ,  справедливы для любых волн и частиц, то зависимость E от p и от k не является универсальной и зависит от физической природы волн и частиц. Так, для электромагнитных волн  , а для электронов  . Подставляя в последнее равенство и  , получаем:  . Это выражение существенно отличается от аналогичного соотношения для фотонов: .Что же такое волна де Бройля? Электромагнитная, звуковая, или какая-либо другая? В настоящее время мы отвечаем так: это особая волна – волна материи. Представим себе мысленный эксперимент: на непрозрачный для электронов экран с двумя щелями падает пучок электронов. Электроны проходят сквозь щели и попадают на второй экран. Если закрыта щель 2, на экране получаем кривую  (распределение интенсивности  ). Если закрыта щель 1, то получаем кривую  (распределение интенсивности  ). Вопрос: какой будет картина, если открыты обе щели? Согласно классическим представлениям, будет просто наложение двух предыдущих распределений с результирующей интенсивностью  . Так должно быть, т.к. согласно классической механике электрон может пройти либо через щель 1, либо через щель 2, и при этом электрон, проходя через щель 1, не почувствует влияния щели 2. В действительности же получается другая картина:  (cм. сплошную кривую  на рис.). Это значит, что электрон, проходя через щель 1, чувствует влияние соседней щели. Возникает интерференция электронных волн, проходящих через щели 1 и 2. Классическая механика не способна это объяснить. Указанный эксперимент говорит о том, что у микрочастицы нет определённой траектории.Контрольные вопросы
|
- поглощение фотона, 
- излучение фотона, 
и 
- рассеяние фотона.Добавить документ в свой блог или на сайт
Ваша оценка этого документа будет первой.
Ваша оценка: 
