Методические указания к выполнению лабораторного практикума по разделу “Механические колебания и волны” для студентов всех специальностей дневной формы обучения
|
Скачать 461.2 Kb.
|
Воронежский государственный технический университетУчебно – лабораторный центр кафедробщей физикиМЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯк выполнению лабораторного практикума по разделу “Механические колебания и волны” для студентов всех специальностей дневной формы обучения   Воронеж 2005Составители: канд. физ.-мат. наук В.С. Железный, канд. физ.-мат. наук А.Г. Москаленко, канд. физ.-мат. наук И.А. Сафонов, канд. физ.-мат. наук В.А. Евсюков, канд, физ.-мат. наук Н.В. Матовых. УДК 531 (07) Методические указания к выполнению лабораторного практикума по разделу “Механические колебания и волны” для студентов всех специальностей дневной формы обучения/ Воронеж. гос. техн. ун-т; Воронеж, Cост. В.С. Железный, А.Г. Москаленко, И.А. Сафонов, В.А. Евсюков, Н.В. Матовых. 2005, 44 с. Методические указания содержат описание методик измерения, приборов и порядок выполнения лабораторных работ № 1.11 - 1.15, поставленных в учебной лаборатории по курсу “Механика” ВГТУ. Предназначены для студентов всех специальностей дневной формы обучения. Ил. 17. Библиогр.: 4 назв. Рецензент д. физ.- мат. наук А.В. Бугаков Ответственный за выпуск зав. кафедрой общей физики механико-технологического профиля профессор В.С.Железный Печатается по решению редакционно – издательского совета Воронежского государственного технического университета © Воронежский государственный технический университет, 2005 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯк выполнению лабораторного практикума по разделу “Механические колебания и волны” для студентов всех специальностей дневной формы обучения Составители: Железный Вадимир Семёнович Москаленко Александр Георгиевич Сафонов Игорь Александрович Евсюков Василий Афанасиевич Матовых Николай Васильевич В авторской редакции Компьютерный набор И.А. Сафонова Подписано в печать 2005. Формат 60х84/16. Бумага для множительных аппаратов. Усл. печ. л. . Уч. – изд. л. . Тираж экз. Зак. № “C” Воронежский государственный технический университет 394026 Воронеж, Московский просп.,14 1. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ К ЛАБОРАТОРНОМУ ПРАКТИКУМУ ПО МЕХАНИЧЕСКИМ КОЛЕБАНИЯМ И ВОЛНАМ 1.1. ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ Колебаниями называют процессы, характеризующиеся повторяемостью во времени. Простейшими из них являются гармонические колебания, при которых колеблющиеся величины изменяются со временем по закону синуса или косинуса. Кинематическое уравнение гармонических колебаний имеет вид  , (1.1)где x - смещение системы от своего положения равновесия; A - амплитуда колебаний;  - фаза колебаний;  - начальная фаза ;  -собственная циклическая частота. График гармонических колебаний представлен на рис.1.1. Рис. 1.1 Первая и вторая производные по времени уравнения (1.1) дают скорость и ускорение колеблющейся точки:  , (1.2) . (1.3)Из уравнений (1.2) и (1.3) следует дифференциальное уравнение гармонических колебаний.  . (1.4)Идеализированные системы, в которых колебания возникают за счёт первоначально сообщённой энергии при последующем отсутствии внешних воздействий и описываются уравнением (1.4), называются гармоническими осцилляторами. Примерами гармонических осцилляторов являются пружинный, физический и математический маятники. Колебания, возникающие в таких системах при отсутствии сил трения, называются собственными гармоническими колебаниями. 1.2. СЛОЖЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ Результирующее движение точки, одновременно участвующей в нескольких колебаниях, во многих случаях является колебательным. Таким образом, можно говорить о сложении нескольких колебаний в одно результирующее. 1.2.1. Сложение гармонических колебаний одного направления Это действие осуществляется с помощью вектора амплитуды, позволяющего свести сложение колебаний к сложению векторов. Вектор амплитуды представляет собой вектор, величина которого равна амплитуде гармонических колебаний, а угол между его направлением и осью X определяется начальной фазой (рис.1.2). Если привести вектор во вращение против часовой стрелки с угловой скоростью 0, то его проекция на ось X будет изменяться со временем по гармоническому закону (1.1). Следовательно, гармоническое колебание может быть задано с помощью вращающегося вектора амплитуды. Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты, описываемых уравнениями:  , (1.5) ω0     . (1.6) Рис. 1.2 Рис. 1.3 Представим эти колебания с помощью векторов амплитуды и и построим вектор A, представляющий результирующие колебания (рис.1.3).Из построения найдём амплитуду и фазу результирующего колебания  , (1.7) . (1.8)Таким образом, результирующее колебание является гармоническим с частотой ω0, амплитуда которого и его начальная фаза определяются выражениями (1.7) и (1.8) .1.2.2. Сложение двух взаимно перпендикулярных колебаний одной частоты Пусть колебания совершаются вдоль взаимно перпендикулярных координатных осей х и y. Выберем начало отсчёта времени так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю, и запишем уравнения колебаний в виде  , (1.9) , (1.10)где - разность фаз складываемых колебаний. Исключив из данных уравнений параметр t, получим уравнение траектории результирующего движения точки:  . (1.11)Уравнение (1.11) представляет собой уравнение эллипса, произвольно ориентированного относительно оси координат. Рассмотрим частные случаи: 1) При =0 уравнение (1.11) принимает вид  . (1.12)Видно, что точка колеблется вдоль отрезка прямой, причём расстояние от начала координат изменяется по закону   . (1.13)Таким образом, результирующее колебание является также гармоническим. 2) При  результирующее колебание также является гармоническим и совершается вдоль прямой, описываемой уравнением . (1.14)3) При  уравнение (1.11) становится уравнением эллипса, приведённого к координатным осям: . (1.15)При равенстве амплитуд эллипс вырождается в окружность 1.3. ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ Рассмотрим реальную механическую систему (например, пружинный маятник), в которой действуют силы трения. При малых колебаниях сила вязкого трения пропорциональна скорости. Тогда дифференциальное уравнение колеблющегося пружинного маятника можно записать в следующем виде  , (1.16)где r- коэффициент сопротивления; k-коэффициент упругости. Уравнение (1.16) может быть приведено к стандартному виду, называемому дифференциальным уравнением затухающих колебаний  , (1.17)где  = r/2m - коэффициент затухания;  - собственная частота колебаний системы.Решение уравнения (1.17) имеет вид  , (1.18)где  - частота затухающих колебаний.График функции (5.18) показан на рис. 1.4. Амплитуда колебаний в этом случае изменяется по закону  . (1.19) Период затухающих колебаний определяется формулой  . (5. 20)  Рис. 1.4 Рис.1.5С ростом коэффициента затухания период затухающих колебаний увеличивается, стремясь к бесконечности при критическом коэффициенте затухания  . При  процесс носит апериодический характер. Выведенная из положения равновесия система возвращается к нему, не совершая колебаний (рис. 1.5).Основные характеристики затухающих колебаний: 1) время релаксации -время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в е раз.    ,  , (1.21)2) логарифмический декремент затухания, представляющий логарифм отношения двух соседних амплитуд, т.е.  , (1.22)где N - число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в e раз;
 , (1.23)где E - энергия системы в момент времени t;  -убыль энергии за один последующий период колебаний.1.4. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ. РЕЗОНАНС Вынужденными называются такие колебания, которые возникают в колебательной системе под действием всякой внешней периодически изменяющейся силы. С учётом вынуждающей силы закон движения пружинного маятника запишется в виде  . (1.24)После преобразования получим неоднородное дифференциальное уравнение, описывающее вынужден- ные колебания:  , (1.25)где  .Общее решение данного неоднородного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Общее решение однородного уравнения имеет вид  , (1.26) где  , а A0 и - произвольные постоянные.Частное решение неоднородного уравнения (1.25) имеет вид  , (1.27) где  , (1.28)  . (1.29) Функция (1.27) в сумме с (1.26) даёт общее решение уравнения (1.25), описывающее поведение системы при вынужденных колебаниях. Слагаемое (1.26) играет значительную роль в начальной стадии процесса при установлении колебаний. С течением времени его роль из-за экспоненциального множителя всё больше уменьшается, и им можно пренебречь  Процесс установления вынужденных колебаний представлен на рис. 1.6. Рис. 1.6 В установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой вынуждающей силы и являются гармоническими, амплитуда и отставание фазы которых определяются выражениями (1.28) и (1.29). Амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающей силы. При некоторой частоте амплитуда достигает максимума. Это явление называется резонансом, а соответствующая частота - резонансной частотой. Из условия максимума функции (1.28) найдём  . (1.30)Амплитуда колебаний при резонансе равна  . (1.31)Резонансные кривые при различных значениях коэффициента затухания представлены на рис.1.7  Рис.1.7 Чем меньше  тем выше и правее лежит резонансный максимум. Если  , то все кривые приходят к одному и тому же значению  , так называемому статическому отклонению.Резонансная амплитуда связана с добротностью колебательной системы следующим соотношением:  . (1.32)Таким образом, добротность характеризует резонансные свойства колебательной системы: чем больше Q, тем острее и выше резонанс. 1.5. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В УПРУГИХ СРЕДАХ. УРАВНЕНИЕ БЕГУЩЕЙ ВОЛНЫ Процесс распространения колебаний в упругой среде, периодический во времени и в пространстве, называется механической волной. Распространение волн не связано с переносом вещества. Частицы среды, в которой распространяется волна, не переносятся волной, они лишь совершают колебания около своих положений равновесия. От одних участков среды к другим переносятся только энергия и импульс. Различают продольные и поперечные волны. В продольной волне частицы среды колеблются вдоль направления распространения волны. В поперечной волне частицы среды колеблются в направлениях, перпендикулярных к направлению распространения волны. Механические поперечные волны могут возникнуть лишь в среде, обладающей упругостью формы, т.е. способной сопротивляться деформации сдвига. Поэтому поперечные волны могут существовать лишь в твёрдых телах. Продольные волны связаны с объёмной деформацией среды, поэтому они могут распространяться как в твёрдых телах, так и в жидкостях и в газах. Скорости распространения поперечных и продольных механических волн в твёрдых телах определяются выражениями  , (1.33) , (1.34)где G – модуль сдвига; Е – модуль Юнга. В газообразных средах распространяется только продольная волна со скоростью  , (1.35)где R – универсальная газовая постоянная; T – абсолютная температура, μ- молярная масса газа. Волна называется синусоидальной, если соответствую- щие ей колебания частиц среды являются гармоническими. График зависимости смещения частиц среды  , участвующих в волновом процессе, от расстояния x этих частиц до источника колебаний для какого-то фиксированного момента времени представлен на рис.1.8. t=const Рис.1.8 Расстояние между ближайшими частицами в направлении распространения волны, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны. Длина волны равна такому расстоянию, на которое распространяется определённая фаза волны за период, т.е.  . (1.36)Зависимость смещения колеблющейся частицы среды от координат и времени называется уравнением волны. В случае плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси X, уравнение имеет вид  , (1.37) или в стандартной форме , (1.38)где  - волновое число.Уравнение волны, распространяющейся в сторону убывания x, отличается только знаком члена kx. Уравнение любой волны является решением некоторого дифференциального уравнения, называемого волновым. В общем случае волновое уравнение имеет вид  . (1.39)1.6. СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ Стоячие волны образуются при наложении двух бегущих синусоидальных волн, распространяющихся навстречу друг другу. Практически стоячие волны возникают при отражении волн от преград. Пусть уравнения бегущей и отражённой волн имеют вид  Сложив эти уравнения, получим уравнение стоячей волны  . (1.40)Из (1.40) следует, что в каждой точке стоячей волны происходят колебания с частотой  , т.е. с частотой бегущих волн и амплитудой , (1.41)являющейся периодической функцией координаты x. Точки среды, в которых амплитуда стоячей волны достигает максимального значения, называются пучностями стоячей волны. Значения координат пучностей  , ( m = 1,2,3...). (1.42)Точки среды, в которых амплитуда стоячей волны обращается в ноль, называются узлами стоячей волны. Координаты узлов определяются соотношением  . (1.43)Расстояние между соседними узлами или соседними пучностями равно  , (1.44) и называется длиной стоячей волны. В отличие от бегущей волны, все точки которой совершают колебания с одинаковой амплитудой, но с запаздыванием по фазе, тогда как все точки стоячей волны между двумя узлами колеблются с разными амплитудами, но с одинаковыми фазами (синфазно). Точки, лежащие по разные стороны от узла, колеблются в противофазе. Графическое изображение стоячей волны для разных моментов времени представлено на рис.1. 9.  Рис. 1.9 В стоячей волне отсутствует перенос энергии, так как образующие эту волну встречные волны переносят энергию в равных количествах в противоположных направлениях. Полная энергия колебаний каждого элемента объёма среды, ограниченного соседними узлом и пучностью, не зависит от времени: она лишь периодически переходит из кинетической энергии, сосредоточенной вблизи пучностей, в потенциальную - вблизи узлов волны, где деформация среды достигает максимальных значений. 2. ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО МЕХАНИЧЕСКИМ КОЛЕБАНИЯМ И ВОЛНАМ 2.1. ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАКОНОВ КОЛЕБАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА И ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ. Лабораторная работа № 1.11 Цель работы: измерение периода колебаний математического и физического маятников; определение приведенной длины физического маятника и величины земного ускорения. Оборудование: универсальная установка FRM-04, содержащая математический маятник, оборотный физический маятник, фотоэлектрический датчик, электронный секундомер и метрическую линейку. Описание установки и методика измерений. Математический маятник представляет собой материальную точку, подвешенную к неподвижной точке на невесомой нерастяжимой нити и совершающую колебания в вертикальной плоскости под действием силы тяжести. Согласно данному определению, математический маятник является идеализированной системой. Достаточно хорошим приближением к математическому маятнику служит небольшой тяжелый шарик, подвешенный на длинной тонкой нити. Физический маятник – абсолютно твердое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси О, не проходящей через его центр тяжести С (рис.1.1) Малые колебания математического и физического маятников практически являются гармоническими, т.е. совершающимися по закону:   ,где φ – угол отклонения маятника к моменту времени t от положения равновесия (угловая координата), φm – угловая амплитуда. При этом период колебаний  . (1.1)Здесь l – длина нити подвеса в случае математического маятника, а в случае физического маятника  - так называемая приведенная длина, где этом I – момент инерции физического маятника относительно оси О, m – его масса, lc – расстояние между точкой подвеса О и центром масс С маятника. Точка подвеса – основание перпендикуляра, опущенного из точки С на ось вращения.Точка О1 на прямой, соединяющей точку подвеса О с центром масс С, лежащая на расстоянии приведенной длины от оси вращения, называется центром качания физического маятника. В нем можно сосредоточить всю массу m маятника, не изменяя его периода. Таким образом, приведенная длина физического маятника – это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом данного физического маятника. Общий вид универсального маятника представлен на рис.1.2. Основные элементы установки: 1 – физический маятник; 2 – математический маятник; 3-электронный милли- секундомер; 4 – фотоэлектрический датчик. Маятники закрепляются на кронштейне 5, который может поворачиваться вокруг стойки 6 и фиксироваться в любом положении винтом 7.   В качестве математического маятника используется металлический шарик 2, подвешенный на двух расходящихся нитях. Длину математического маятника можно регулировать при помощи ролика 8. Физический маятник выполнен в виде стального стержня 9, на котором крепятся повернутые друг к другу лезвиями две призмы 10 и дополнительные грузы 11. На стержне для определения размеров маятника через каждые 10 мм выполнены кольцевые канавки, которые позволяют четко фиксировать положение ножей и грузов на стержне. На лицевой панели миллисекундомера находятся следующие функциональные элементы: СЕТЬ – включение, выключение сети; СБРОС – установка нуля и начало отсчета; СТОП – окончание процесса отсчета; ПЕРИОД – количество полных колебаний; ВРЕМЯ – продолжительность колебаний. Фотоэлектрический датчик смонтирован на кронштейне 12. Он содержит электрическую лампочку и фотоэлемент, включенный на вход универсального миллисекундомера. Нижний кронштейн можно перемещать вдоль стойки и фиксировать в произвольном положении. На нём закреплена шкала 13 для измерения угловой амплитуды φm колебаний маятника. Порядок выполнения работы Упражнение 1. Изучение влияния амплитуды на период свободных колебаний физического маятникаПериод колебаний физического маятника согласно (1.1) практически не зависит от фазы и амплитуды только в случае малых колебаний, т.е. когда  . При больших качаниях маятника наблюдается так называемая ангармоничность колебаний, т.е. зависимость частоты ω и, следовательно, периода T от амплитуды колебаний. В данном упражнении ставится задача экспериментально определить предельную угловую амплитуду, меньше которой колебания физического маятника можно считать гармоническими. В качестве физического маятника используется однородный стальной стержень длины  . На конце стержня необходимо закрепить опорную призму, острое ребро которой является осью качания маятника. Нижний кронштейн вместе с фотоэлектрическим датчиком отрегулировать таким образом, чтобы второй конец маятника пересекал оптическую ось датчика.Измерить время 10 полных колебаний при отклонениях маятника на 11; 9; 7; 5; 3; 20 по зеркальной шкале. Результаты занести в табл. 1.1. Для каждого значения угла отклонения период колебаний определяют не менее трех раз и вычисляют его среднее значение  . (1.2)Построить график зависимости периода колебаний от амплитуды отклонения  и по графику определить предельный угол отклонения  , при котором период начинает зависеть от амплитуды. При дальнейших измерениях необходимо соблюдать условие  .Таблица 1.1
Упражнение 2. Определение ускорения свободного падения с помощью физического маятникаВ случае однородного стержня момент инерции маятника согласно теореме Штейнера определяется выражением  , (1.3)где – длина стержня;  – расстояние от точки опоры до центра масс.С учетом этого уравнение (1.1) преобразуется к виду  . (1.4)Перемещая опорную призму стержня начиная от конца к середине, установить зависимость периода колебаний физического маятника Т от расстояния между точкой опоры и центром масс . При каждом значении определить время 10 колебаний не менее 3 раз и занести данные в табл. 1.2. Таблица 1.2
Призму перемещать на 3 риски стержня  не менее 6 раз. Заполнить табл. 1.2 и построить график в координатах  от  . Убедиться, что график имеет прямолинейный характер. Из полученных экспериментальных данных определить  . Lc2, м2 Из рис. 1.3 видно, что коэффициент наклона    . (1.5) С учетом уравнения (1.4)  . (1.6) Таким образом,  Контрольные вопросы 1. Что называется физическим маятником? Выведите дифференциальное уравнение физического маятника. 2. В чем состоит метод определения ускорения свободного падения с помощью физического маятника? 3. Назовите факторы влияющие на ускорение свободного падения. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Добавить документ в свой блог или на сайт
Ваша оценка этого документа будет первой.
Ваша оценка: 
