Решение задачи о раскрое фанеры icon

Решение задачи о раскрое фанеры





Скачать 370.39 Kb.
НазваниеРешение задачи о раскрое фанеры
Дата конвертации13.02.2013
Размер370.39 Kb.
ТипРешение

Решение задачи о раскрое фанеры


Теперь приступим к решению системы урав­нений (3). Мы имеем три уравнения с пятью неизвестными. Поэтому два неизвестных будут свободными, а остальные три — зависимыми. Конечно, в качестве зависимых неизвестных нужно брать те, у которых абсолютная величи­на коэффициентов минимальна.

Поэтому выберем в качестве свободных не­известных х1 и х2 и выразим x3, х4, х5 через x1 и x2. Для этого значение х3=800-х1-x2 подставим в первые два уравнения, получим:

x3 =800-х12, х4=400+2х1-2х2, х5=200-2x1+х2.

Теперь, давая x1 и x2 целые значения, по­лучим всевозможные решения системы (3) в целых числах.

Исследуйте самостоятельно, какие целые неотрицательные значения следует давать х1 и х2, чтобы х3, х4 и х5 также были неотрицатель­ными.

Ниже приведена таблица некоторых решений системы (3).



Из таблицы видно, что листов фанеры до­статочно и что самый выгодный способ раскроя будет при x1=0, x2=100, х3=700. В этом случае

образуются «лишние» заготовки еще для 100 изделий. В других случаях «лишние» заготовки будут некомплектными. Но нужно ли раскраи­вать все 800 листов? Ведь нужны заготовки для 1000 изделий, а не для 1100.

Поэтому практический интерес представляет следующий дополнительный вопрос к этой зада­че: какое наименьшее число / листов фанеры следует взять со склада и какими из указанных способов следует кроить взятые листы, чтобы выполнить заказ? Для ответа на этот вопрос из всех решений в целых неотрицательных чис­лах системы уравнений



для которого f=x1+x2+x3 принимает наимень­шее значение, или, как мы будем говорить даль­ше, удовлетворяет условию минимальности.

Чтобы облегчить поиски, откажемся вре­менно от требования, чтобы значения неизвест­ных были целыми. Попытаемся решить нашу задачу удачным выбором свободных неизвест­ных. Удобнее всего такими выбрать x4, х5 и какое-нибудь из неизвестных x1, x2, x3. По­этому, исключая из уравнений (15) сначала, например, x1, а затем x2 и опуская промежуточ­ные выкладки, будем иметь:



При данном значении х3 наименьшее значение f мы получим, если неизвестным x4 и х5 дадим нулевое значение (это и понятно, ведь x4 и x5 — количество «лишних» заготовок!). Пусть x4=x5=0. Легко видеть, что при воз­растании значений неизвестного х3 значение f будет убывать. Но рост х3 сдерживается требо­ванием, чтобы значения неизвестных х1 и x2

были неотрицательными. Так как 7000/11<11000/44 ,

то из равенств [см. (16) при x4=x5=0]:



видно, что при возрастании х3 отрицательные значения прежде всего будет принимать неиз-

284


вестное x1. Поэтому естественно неизвестное x1 сделать свободным, а неизвестное х3— зави­симым.

Исключая из уравнений (15) неизвестные x2 и x3, найдем:

x2=(1/11)(1000+14x1- 4x4 +3x5),

x3=(1/11)(7000-23x1+5x4- x5), f=(1/11)(8000+2x1+x4+2x5).

Легко видеть, что наименьшее значение f получим, если свободным неизвестным х1, x4 и x5 дадим нулевые значения. При этом для зави­симых неизвестных получим положительные значения:


х2=1000/11,x3=7000/11.

Следовательно, решение

х1=0; x2=1000/11=90,9...;

х3 =7000/11=636,3 ...; x4=0; х5=0

системы (15) удовлетворяет условию минималь­ности. Но нам требуется найти целочисленное решение в неотрицательных числах, удовлет­воряющее условию минимальности. Из приведен­ных рассуждений следует, что для такого ре­шения f8000/11=727,2... или даже f728,

так как число должно быть целым. Можно ожидать, что искомое решение мы получим, если немного изменим значение неизвестных. Поло­жим, например, х1=0, х2=91, х3=637. Тогда:

f=x1+x2+x3 =728,

5•0+91+3•637=2002>2000,

2•0+5•91+4 •637=3003>3000.

А это убеждает нас, что целочисленное реше­ние с условием минимальности найдено. Итак, со склада достаточно взять лишь 728 листов фанеры и 91 из них кроить по второму, а осталь­ные по третьему способу.

Решенная нами задача о раскрое фанеры относится к числу задач, составляющих пред­мет теории линейного програм­мирования. В этой теории рассматривают задачи следующего типа: из всех решений в не­отрицательных числах некоторой системы уравнений первой степени найти решение, удовлет­воряющее условию минимальности. Иногда, как в задаче о раскрое фанеры, выдвигают дополнительное требование, чтобы значения неизвестных были целыми числами.



Жозеф Луи Лагранж.

Весьма многие проблемы экономики страны, в частности вопросы планирования производ­ства и перевозок, приводят к этим задачам.

Целые решения неопределенных уравнений степени выше первой

Решение в целых числах неопределенных уравнений степени выше первой с целыми коэф­фициентами — во многих случаях задача более сложная, чем решение в целых числах неопре­деленных уравнений первой степени.

Индийские математики (V—XII вв.) нашли решение в целых числах некоторых уравнений второй степени с двумя неизвестными. Полно­стью задачу нахождения в целых числах неопреде­ленных уравнений второй степени с двумя неиз­вестными решил в 1766 г. французский матема­тик Ж. Лагранж.

Уравнения третьей степени с двумя неизвест­ными до сих пор до конца не исследованы. С некоторыми типами таких уравнений удалось справиться советскому математику Б. Н. Дело­не. Нужно сказать, что даже установить число решений таких уравнений третьей и более вы­соких степеней исключительно трудно.

285


В начале нашего столетия норвежскому ма­тематику А. Туэ удалось доказать интересную теорему:

Неопределенное уравнение с целыми коэффициентами:

а0хn1хn-1у+а2хn-2у2 ...аnуn=b,

где n целое число, большее двух, имеет только конечное множество решений (в частности, мо­жет не иметь решений) в целых числах, за исклю­чением случаев, когда левая часть этого урав­нения есть степень однородного двучлена первой степени или трехчлена второй степени.

Еще более трудным является вопрос о реше­нии в целых числах неопределенных уравнений выше первой степени с тремя и более неизвестны­ми. До сих пор неизвестен общий метод решения таких уравнений. Уравнение (1) является про­стейшим из них. Древние греки и даже вавило­няне знали тождество:

(2mn)2+(m2-n2)2 =(m2+n2)2.

Пользуясь таким тождеством, нетрудно находить натуральные решения уравнения (1). Для этой цели нужно в формулах



переменным m и n давать натуральные значения с условием, что m>n. При помощи простых сооб­ражений доказывается, что из формул (17) можно получить все решения уравнения (1) в нату­ральных и взаимно простых числах, если па­раметрам m и n давать натуральные, взаимно простые и разной четности значения с услови­ем m>n.

Занимаясь неопределенными уравнениями, известный французский математик П. Ферма высказал в середине XVII в. предположение, что для любого натурального числа n, боль­шего 2, уравнение

хn+уn=zn

не имеет решений в натуральных числах. До­казательство этого утверждения для n=3 и n=4 было найдено Л, Эйлером.

В дальнейшем предпринимались многочислен­ные попытки доказать это утверждение (так

называемую великую теорему Ферма) полностью, но они не имели успеха1. Однако такие попытки не были безрезультатными — они содействовали возникновению и развитию нового отдела ма­тематики — алгебраической теории чисел.

В 1770 г. шотландский математик Э. Варинг высказал предположение, что для всякого натурального k, не равного 1, существует такое натуральное число r, что при любом натураль­ном /V, уравнение

хk1k2...+ xkr=N (18)

разрешимо в целых числах. Доказательство част­ного случая этого утверждения принадлежит Ж. Лагранжу. Он установил, что всякое число можно представить в виде суммы четырех квад­ратов целых неотрицательных чисел, например:

23= 32+32+22+12, 26=42+32+12+02.

Полностью эту теорему удалось доказать в 1909 г. немецкому математику Д. Гильберту. Но ему не удалось дать оценку минимального чис­ла r, для которого уравнение (18) разрешимо в целых неотрицательных числах. Значительный успех в определении g(k) (так обозначают наи­меньшее r, для которого при любом натураль­ном N уравнение (18) разрешимо в целых неот­рицательных числах) стал возможен только после создания советским математиком И. М. Ви­ноградовым особого метода для решения этой и сходных с ней задач.

Сравнительно недавно стали изучаться по­казательные неопределенные уравнения. К этой области принадлежит интересная теорема со­ветского математика А. О. Гельфонда:

Уравнение ах+bу=cz, где а, b и с целые, каждое из которых не равно ни нулю, ни степени двойки, может иметь не более чем конечное число решений в целых числах х, у и z.

Наиболее трудными являются неопределен­ные уравнения, связанные каким-либо способом с простыми числами. Но и в этой области за по­следние годы наметился успех. Мы не будем останавливаться здесь на этой сложной и увле­кательной проблеме.

1 В настоящее время теорема доказана для всех n10 000.




ФИГУРЫ И ТЕЛА

ГЕОМЕТРИЯ ВОКРУГ НАС

Кое-кто, возможно, считает, что различ­ные замысловатые линии и поверхности мож­но встретить только в книгах ученых-матема­тиков.

Однако стоит внимательно осмотреться, и мы сразу обнаружим вокруг нас всевозможные гео­метрические фигуры. Оказывается, их очень иного. Просто мы их раньше не замечали,

Вот комната. Все ее стены, пол и потолок

являются плоскостями (не будем об­ращать внимания на проемы окон и дверей), а сама комната имеет форму параллеле­пипеда.

Посмотрим на паркетный пол. Планки пар­кета — прямоугольники или квад­раты. Пройдем в ванную комнату. Плитки пола там часто бывают правильными шести­угольниками или восьмиугольниками, между которыми уложены неболь­шие квадратики.

287




Но вернемся в комнату и посмотрим на ме­бель. Шкаф в своей основе — параллелепипед. Письменный стол не что иное, как очень пло­ский параллелепипед, лежащий на двух дру­гих параллелепипедах — тумбочках, в которых размещаются ящики. На столике — лампа с аба­журом. Этот абажур — конус.

Ведро представляет собой усеченный конус, у которого верхнее основание больше нижнего. Впрочем, ведро бывает и цилиндри­ческой формы. Вообще цилиндров и конусов в доме очень много. Все прямые трубы (водопро­вод, паровое отопление, газопровод) — цилиндры. А там, где трубы изогнуты, обра­зуются так называемые каналовые или трубчатые поверхности.

В буфете стоит посуда. Вот граненый стакан с боковой поверхностью правильной многогран­ной усеченной пирамиды. Чайное блюдечко — тоже усеченный конус. Воронка состоит из двух усеченных конусов, которые переходят один в другой.

Нальем в стакан воду. Края ее поверхности имеют форму круга. Наклоним стакан так, чтобы вода не выливалась; тогда край водной поверхности станет эллипсом.

Выйдем на улицу. Перед нами — дома. Если не обращать внимания на различные осо­бенности их архитектурной отделки, можно ска­зать, что стены домов являются плоскостями. Две стены, встречаясь под углом, пересе­каются по прямой линии. Дом в целом, с этой точки зрения, есть тело, ограниченное пересе­кающимися друг с другом плоскостями, т. е. многогранник. На вклейке изображен такой дом-многогранник. Он состоит из нескольких параллелепипедов и призм, переходя­щих друг в друга.

Многие жилые дома, дворцы, общественные здания украшены ко­лоннами. Колонны в большинстве случаев — цилиндры, но могут иметь и более сложную форму.

Кто был в Москве, знает, как красив Мо­сковский Кремль. Пре­красны его башни! Сколько интересных гео­метрических фигур по­ложено в их основу! Вот, например, Набат­ная башня (см. рис. меж­ду стр. 288—289). На вы­соком параллелепипеде стоит параллелепипед поменьше, с проемами для окон, а еще выше воздвигнута четырех­угольная усеченная пирамида. На ней располо­жены четыре арки, увенчанные восьмиуголь­ной пирамидой.

По улице движутся автомобили, трамваи, троллейбусы. Их колеса с геометрической точки зрения — круги. Мы настолько привыкли к



288




Каких только геометрических форм не встретишь вокруг! Форму различных многогранников имеют кристаллы, причудливую симметричную форму — листья, а шары — главная деталь шарикоподшип­ника. Форму тора имеет спасательный круг, а пла­нета, на которой мы живем, — форму геоида.




Многим условиям должны удовлетворять геометри­ческие формы различных сооружений, создаваемых человеком. Обтекаемую форму придают пароходу, —подводной лодке, автомобилю (особенно гоночному). А космическая ракета — транспортное средство будущего — имеет форму конуса, поставленного на цилиндр. Самую разнообразную форму имеют здания и их различные детали.



этому, что даже не ду­маем об окружности как о кривой, которая по­могла людям во много раз облегчить труд. А ведь было время, ког­да люди еще не знали колеса.

Посмотрим на авто­мобильные фары. Их внутренняя поверх­ность зеркальная. Конструкторы автомобилей знают, что свет должен выходить из фар пуч­ком параллельных лучей: тогда сила света бу­дет слабее всего уменьшаться с увеличени­ем расстояния. А чтобы зеркало фар отража­ло лучи параллельным пучком, зеркалу нужно придать форму параболоида враще­ния, внутри которого в определенной точке (в фокусе) находится лампочка. Параболоид вращения — это поверхность, которая образует­ся при вращении параболы вокруг ее оси.

У некоторых марок автомобилей фары на­ходятся внутри капота и снаружи виднеется только стекло. У других же весь корпус фары выступает наружу и ясно видно, что она пара­болической формы.

Параболоид вращения служит отражающим зеркалом и у прожекторов, которые посылают в небо мощные лучи. Форму параболоида вра­щения имеет купол Московского планетария (см. рис. на вклейке).

Перед нами мост. Арки мостов бывают раз­ной формы: одни из них эллиптические, другие— параболические. На парапете моста часто укрепляют спасательные круги. Они по форме очень близки к тору. Тор — это поверх­ность, образующаяся при вращении окруж­ности вокруг оси, когда ось не пересекается с окружностью, но лежит с ней в одной плоско­сти (см. рис. на вклейке).

Мы подходим к радиостанции. Здесь возвы­шаются радиомачты с излучателями электро­магнитных колебаний на верхушках. Но какой странной формы эти мачты! Они состоят из отдельных частей (секций), поставленных друг на друга. А каждая секция похожа на круглую сетку, образованную прямолинейными стерж­нями.



289




Рассмотрим любую из секций (они отлича­ются только размерами). Представим себе, что стержни расположены вплотную друг к другу. В таком случае они будут образовывать заме­чательную кривую поверхность, которая назы­вается одно полостным гипербо­лоидом. Те прямолинейные стержни, кото­рые мы видим, не что иное, как прямоли­нейные образующие этой поверх­ности. Посмотрите на однополостный гипербо­лоид (рис. на стр. 292—293). Трудно поверить, что он состоит из прямых линий. Однако это именно так. Эта конструкция очень легка и отличается исключительной прочностью.

Иногда строят односекционные вышки из прямолинейных металлических стержней высо­той в многоэтажный дом. Так построена во­донапорная башня около Сельскохозяйственной академии им. К. А. Тимирязева в Москве. Та­кие башни были впервые сконструированы советским инженером В. Г. Шуховым и называ­ются шуховскими.

Своим названием однополостный гипербо­лоид обязан гиперболе. Эта поверхность обра­зована вращением гиперболы вокруг той из ее осей, которая ее не пересекает. В таком случае при вращении образуется единая поверхность (одна полость).

А теперь сядем в поезд. Город остался далеко позади. Бегут телеграфные столбы. Но и здесь геометрия не покидает нас. Вдоль дороги на столбах натянуты провода. Вот проходит линия высоковольтной передачи. Провода от собствен­ной тяжести слегка провисают. Какая же ли­ния образуется при этом? Такой вопрос имеет большое практическое значение. Когда требуется определить длину провода, необходимого для передачи электроэнергии на большие расстоя­ния, приходится учитывать, что его длина (бла­годаря провисанию) будет большей, чем расстоя-

Поищем числа-,,самородки"

Возьмем какое-нибудь целое поло­жительное число, например 13. Приба­вим сумму его цифр, тогда образуется число 17. К этому результату тоже прибавим сумму его цифр, образуется число 25. Продолжая так действовать, получим последовательность чисел: 13, 17, 25, 32, 37, 47, ...

Прежде всего давайте выясним, можно ли полученную последователь­ность продолжить влево, т. е. сущест­вует ли число, которое в сумме с его же цифрами дало бы 13? Пробуем 12:

12+3=15 — плохо. Пробуем 11:

11+2=13 — хорошо. Значит, перед числом 13 в нашей по­следовательности должно быть чи­сло 11. А перед ним? Попробуем 10:

10 + 1 = 11 — хорошо. А перед числом 10? Здесь и без пробы ясно, что числу 10 будет

предшествовать 5. В самом деле:

5 + 5= 10.

Но уже для числа 5 нет предшест­венника среди целых положительных чисел. Таким образом, в последова­тельности:

5, 10, 11, 13, 17, 25, ... все числа, кроме пятерки, «сформи­рованы» по единому правилу, а число 5 оказалось как бы «самородком» .

Отправимся в поиски других «са­мородков», аналогичных числу 5.

Однозначные «самородки» об­наруживаются сразу. Это, очевидно, 1, 3, 5, 7 и 9.

Из двузначных наименьшим «са­мородком» будет число 20. (Легко убедиться, что ни одно из чисел от 1 до 19 в сумме с его же цифрами не образует 20.) Следующий двузначный «самородок» — число 31. (Убедитесь!)

А сколько же всего двузначных



«самородков» ? Выясните самостоя­тельно. (Ответ на стр. 321.)

Есть «самородки» и среди много­значных чисел, например: 132, 143, 233, 929, 1952, 874 531 и т. д.

Не так-то легко было выявить их!

290


ние между конечными пунктами линии электро­передачи. И чтобы точно подсчитать длину проводов, необходимо определить, какая имен­но линия образуется при провисании провода между двумя столбами. Оказывается, что меж­ду каждыми двумя столбами провод провисает по так называемой цепной линии. Точно так же провисает и шнур, укрепленный на двух гвоздиках, вбитых в стену. Цепная ли­ния очень похожа на параболу, но это не парабо­ла; свойства цепной линии и параболы различны.

Наш поезд идет по прямолинейному железно­дорожному пути и время от времени плавно проходит закругления рельсов. Плавное движе­ние поезда на изгибах железнодорожного полот­на обусловлено тем, что железнодорожный путь на закруглениях искривлен не просто по окруж­ности, а также по некоторым довольно замыс­ловатым кривым. Лишь иногда, на очень крутых поворотах, мы ощущаем, что нас слегка оттал­кивает к одной из стенок вагона. Мы знаем, что на закруглениях на вагоны действует сила, кото­рую называют центробежной. Она стремится опро­кинуть вагоны и отклоняет все тела, находящие­ся в поезде, к внешней стороне закругления.

Чтобы вагоны не опрокинулись, внешний рельс железнодорожного полотна на повороте слегка поднимают по сравнению с внутренним, и этот подъем тем больше, чем круче поворот. Но если заставить поезд сразу переходить с прямолинейного участка пути на круговой, то надо сразу и круто приподнять один из рельсов и вагоны будут испытывать при переходе рез­кие и сильные толчки. Чтобы этого избежать, переход на закругление делают постепенным. После прямолинейного участка пути рельсы сначала укладывают по так называемой пе­реходной кривой (вдоль которой искрив­ленность возрастает постепенно) и лишь потом эту кривую переводят в дугу окружности. Так поступают и в конце поворота. В качестве переходных используются разные линии (в зави­симости от кривизны поворота, скорости поезда на повороте и т. д.). Обычно применяют либо дугу кубической параболы, либо дугу лемнискаты, либо дугу спи­рали Корню (рис. на стр. 292—293).

До сих пор мы говорили только о тех про­стейших линиях и поверхностях, которые вид­ны с первого взгляда. А если присмотреться внимательнее, то обнаружим все новые и новые линии и поверхности.

Заглянем на завод. Заводские трубы — при­мер усеченного конуса: широкие снизу, они постепенно суживаются кверху. На заводе работают станки. Какое множество самых разнооб­разных линий описывают различные движущиеся части станков! На любом винте имеются винто­вые нарезки. Мы увидим станки с эллиптиче­скими колесами, зубчатые колеса с самыми раз­нообразными формами зубцов, выточенных по дуге циклоиды, эллипса, эволь­венты круга. Свойства этих кривых, имею­щих важное применение в технике, изучаются средствами высшей математики.

Кажется, мы не упомянули еще о шаро­вой поверхности. А ведь она встречает­ся часто. Вспомним хотя бы шариковые под­шипники. Более того, форму шара придают иног­да и газгольдерам, т. е. резервуарам для хране­ния газа (см. рис. на стр. 292—293). Это объяс­няется одним замечательным свойством шаровой поверхности: на изготовление шара расходует­ся значительно меньше материала, чем на сосуд любой другой формы того же объема.

А сколько еще встречается различных по­верхностей, сложных по форме, не имеющих специальных названий!

Вот паровой котел, напоминающий цилиндр. В нем находится пар под высоким давлением. Поэтому стенки цилиндра слегка (пусть неза­метно для глаза) изгибаются, образуя поверх­ность очень сложной и неправильной формы, ко­торую, однако, инженеры обязаны хорошо знать, чтобы суметь рассчитать котел на проч­ность. Сложную форму имеет и корпус подвод­ной лодки. Он должен быть хорошо обтекае­мым, прочным и вместительным. От формы кора-

Из шести спичек

С помощью кусочков пластилина я соорудил пирамиду и заметил, что в этой конструкции со­держится четыре равных равносторонних треуголь­ника.

ч<А не могу ли я теперь образовать в одной плоскости четыре равных равносторонних треуголь­ника из шести одинаковых отрезков?»



Прикинул на спичках — получилось! И плас­тилин не потребовался.

Если вам не удастся самостоятельно воспроиз­вести эту новую конструкцию, взгляните на стра­ницу 321.

291


бельного корпуса зависит и прочность корабля, него устойчивость, и скорость.

Высокие скорости движения заставили инже­неров обратить серьезное внимание на форму современных поездов, самолетов, автомобилей. Именно от нее зависит встречное сопротивление воздуха, которое быстро возрастает с увеличе­нием скорости. А если форма будет удачной, обтекаемой, сопротивление воздуха можно зна­чительно уменьшить. Например гоночный ав­томобиль; его кузову придают такую форму, чтобы встречные потоки воздуха плавно обте­кали машину и плотнее прижимали ее к земле (см. рис. на стр. 288—289).

Мотор автомобиля заключен в обтекаемый капот, ветровое стекло отклонено назад, крыша кузова плавно переходит в наклонную заднюю стенку, И капот, и крыша, и задняя стенка не плоские. Они представляют собой сложные по­верхности, с которыми школьная математика не имеет дела. Но ими очень интересуются ин­женеры, которые тщательно их рассчитывают в своих конструкторских бюро.

Мы живем в эпоху завоевания космоса. Наши ракеты запускают космические корабли, спутники Земли. Космическая лаборатория сфотографировала обратную сторону Луны.

Какие геометрические формы мы здесь ис­пользуем? В основе корпус ракеты состоит из цилиндра, заключающего внутри себя двига­тели и горючее. В конической головной части помещается кабина с приборами или с космо­навтом (см. рис. на стр. 288—289).

Итак, мы познакомились со множеством различных линий, поверхностей и тел, которые нас окружают. Теперь вы и сами, несомненно, заметите множество геометрических форм, о которых мы здесь не упоминали.

Впрочем, об одной из них, о линии, которую никто не видит, но которая всегда находится около нас, мы расскажем, ибо заметить ее само­му, ничего не зная о ней заранее, невозможно.

Пол и потолок в нашей комнате поддержи­ваются балками, концы которых вмурованы в стены. Балки под влиянием большой нагрузки слегка прогибаются (этот прогиб незаметен для глаза), и, чтобы рассчитать допустимую на­грузку на балки, архитектор должен знать линию ее прогиба. Оказывается, балка, поддер­живающая пол или потолок, прогибается по кривой, которая называется параболой 4-й степени. Не будет преувеличением сказать, что эта линия всегда находится у нас под ногами и всегда висит над нашей головой.

Мы видим, сколько самых разнообразных

геометрических линии и поверхностей исполь­зует человек в своей деятельности — при строи­тельстве жилищ, фабрик, заводов, мостов, ма­шин, в транспорте. Пользуется же он ими не из простой любви к интересным геометрическим фигурам, а потому, что свойства этих геометри­ческих линий и поверхностей позволяют с наи­большей простотой решать разнообразные тех­нические задачи.

Но чтобы применять эти свойства в технике, надо их знать. Следовательно, надо изучать все эти линии и поверхности. И не только их, но и многие другие, так как техника развивает­ся и с каждым годом использует для своих нужд все новые и новые геометрические формы. Изучая свойства разных линий и поверхностей, мы ставим себе целью выразить эти свойства в виде формул, чтобы уметь по ним производить расчеты машин, зданий и других сооружений.

До сих пор мы в основном упоминали о гео­метрических формах, созданных руками чело­века. Однако и в самой природе очень много замечательных геометрических форм.

Так, мы живем на своеобразной поверхно­сти, которая хотя и именуется земным шаром, но на самом деле является, как говорят астро­номы, геоидом и по форме очень близка к эллипсоиду вращения (рис. на стр.288— 289). Этот эллипсоид образован вращением эллипса вокруг его малой оси. Правда, он мало отличается от шара (полуоси эллипса, враще­нием которого образован эллипсоид, относятся

друг к другу как 299/300). Но все-таки это различие приходится принимать во внимание при составлении географических карт.

Взглянем на кристаллы (рис. на стр. 424— 425). Мы обнаружим в них сочетание призм, пирамид и других многогранников.

Листья на деревьях ограничены самыми при­чудливыми линиями.

Ничего не может быть проще и однообразнее для глаза, чем безграничная плоская поверх­ность моря в безветренную погоду. Но сколько хлопот причиняет людям морская поверхность, едва подует ветер! Вначале образуются неболь-

292




Форму разнообразных геометрических фигур имеют все архитектурные и строительные конструкции.

1. Радиомачта, каждая секция которой представля­ет собой однополостный гиперболоид.

2. Мост с параболической (слева) и эллиптической арками.

3. Газгольдеры шарообразной формы.

4. Заводские трубы — усеченные конусы.

5. Поезд делает поворот по переходной кривой:

а) схема переходной кривой,

б) переходная кривая — спираль Корню,

в) переходная кривая — лемниската Бернулли,

г) переходная кривая — кубическая парабола.





Полуправильные выпуклые многогранники. Их гра­ни — правильные многоугольники разных наимено­ваний, а все многогранные углы равны между собой.

Всего существует тринадцать вполне определенных полуправильных многогранников (они были извест­ны Архимеду, поэтому их также называют телами Архимеда) и еще две бесконечные серии так на­зываемых призм и антипризм Архимеда.

На рисунке изображены все тринадцать типов полуправильных многогранников: 1) усеченный тетраэдр (грани — правильные треугольники и шес­тиугольники), 2) кубооктаэдр (грани — правильные треугольники и квадраты), 3) усеченный октаэдр (грани — квадраты и правильные шестиугольники), 4) усеченный куб (грани — правильные треуголь­ники и восьмиугольники), 5) икосододекаэдр (гра­ни — правильные треугольники и пятиугольники), 6) усеченный икосаэдр (грани — правильные пяти­угольники и шестиугольники) 7) ромбокубоэктаэдр (грани — правильные треугольники и квадраты), 8) плосконосый куб (грани — правильные тре­угольники и квадраты), 9) усеченный додекаэдр (гра­ни — правильные треугольники и десятиугольники), 10) ромбоикосододекаэдр (грани — правильные тре­угольники, пятиугольники и квадраты), 11) усечен­ный кубооктаэдр (грани — квадраты, правильные шестиугольники и восьмиугольники), 12) плоско­носый додекаэдр (грани — правильные треуголь­ники и пятиугольники), 13) усеченный икосододекаэдр (грани — квадраты, правильные шестиуголь­ники и десятиугольники).

На всех чертежах показаны также правильные многогранники, из которых усечением получаются полуправильные.

Подсчитайте, сколько каких граней имеет каждое из тел Архимеда, сколько вершин, сколько ребер. Правильность этого подсчета можно проверить по формуле Эйлера, верной для всякого выпуклого многогранника

Г+В-P=2,

где Г — количество граней, В — количество вершин, Р — количество ребер.

шие волны, потом они принимают самую при­чудливую геометрическую форму, сталкиваясь между собой, обгоняя друг друга, попадая в узкие проливы или на отмели, ударяясь о стенки молов и причалов. Формы поверхности этих волн приходится изучать в физике и меха­нике, так как на основе этого изучения проек­тируются корпуса кораблей, наименее подвер­женные качке, а также наиболее прочные стен­ки волнорезов и набережных, успешно сопро­тивляющиеся ударам волн.

Во многих случаях наблюдения над явления­ми природы помогают человеку в решении его технических задач. Достаточно сказать, что на заре развития авиации наш знаменитый ученый Н. Е. Жуковский, которого В. И. Ленин назвал «отцом русской авиации», и С. А. Чап­лыгин исследовали полет птиц, чтобы сделать выводы относительно наивыгоднейшей формы крыла самолета и условий его полета.

Из всего сказанного видно, какую важную роль в нашей жизни играет геометрия.

Наша школьная, элементарная геометрия изучает лишь простейшие из геометрических фигур. Но существуют и другие геометрические науки, изучающие более сложные линии и по­верхности.

КАК ВОЗНИКЛА ГЕОМЕТРИЯ

Истоки геометрии, как и других наук, лежат в практической деятельности людей. Само слово «геометрия» — греческое, в переводе означает «землемерие».

Люди очень рано столкнулись с необходи­мостью измерять земельные участки. Уже за 3—4 тыс. лет до н. э. каждый клочок плодород­ной земли в долинах Нила, Тигра и Евфрата имел значение для жизни людей. После разлива рек, особенно Нила, приходилось вновь делить землю. Это требовало определенного запаса гео­метрических и арифметических знаний.

Но вот урожай собран. Как в то время от­меривали зерно? Первоначально это делали так, как поступаем и мы при измерении воды или керосина, т. е. мерили его по объему. Вы­бирали в качестве единицы измерения сосуд определенной вместимости и считали, сколько содержится таких сосудов в куче зерна. Этот первый способ определения объема приводил к вопросу о соотношении между объемами раз­ных тел.

Постепенно люди начали измерять более сложные геометрические фигуры и изучать их свойства.

По дошедшим до нас египетским папирусам и древневавилонским текстам видно, что уже за 2 тыс. лет до н. э. люди умели определять пло­щади треугольников, прямоугольников, тра­пеций, приближенно вычислять площадь кру­га. Они знали также формулы для определения объемов куба, цилиндра, конуса, пирамиды и усеченной пирамиды. Сведения по геометрии вскоре стали необходимы не только при измере­нии земли. Развитие архитектуры, а несколько позднее и астрономии предъявило геометрии новые требования. И в Египте, и в Вавилоне сооружались колоссальные храмы, строитель­ство которых могло производиться только на основе предварительных расчетов. В VI в. до н. э. в одном из древнегреческих государств на острове Самос был построен водопровод, по которому вода в город поступала из источника, лежащего за горой Кастро. Водопровод про­ходил через туннель длиной в 1 км. Замечатель­но, что туннель этот начали рыть с обеих сто­рон одновременно и оба участка его почти точно сошлись под землей! Это значит, что предвари­тельно было определено направление туннеля, т. е. решена задача вычислительной геометрии, которая и сейчас считается в инженерном деле отнюдь не простой. При этом строители древно-

293


сти должны были пользоваться какими-то чер­тежами, должны были знать учение о подобии. Еще до Пифагора были хорошо известны част­ные случаи теоремы, носящей его имя. А именно: было известно, что если длины сторон прямо­угольного треугольника могут быть выражены в целых числах, то квадрат длины гипотену­зы равен сумме квадратов длин катетов. Зна­ли уже и обратную теорему: если а, b и с такие целые числа, что c2=a2+b2 (например, а=3, 5=4, с=5), то треугольник со сторонами а, b, с будет прямоугольным. Именно в таком виде



«теорема Пифагора» и обратное ей предложе­ние были известны в Вавилоне.

И все же, несмотря на то что человечество накопило такие обширные знания, геометрия как наука еще не существовала.

Дело в том, что в странах Древнего Востока, о которых шла речь, геометрические знания напоминали сборник мало связанных между собой полезных рецептов, их даже и излагали так, как в наши дни кулинарные рецепты или советы по домоводству. Для решения задачи приводился рецепт, в правильности которого можно было убедиться на конкретных примерах. Общие предложения не доказывались.

Возникновение геометрии как науки

Примерно такой же характер имели геомет­рические знания и в древней Греции в VII—VI вв. до н. э. Греческая культура была более молодой, и поэтому многие научные сведения греки заимствовали у египтян и вавилонян. Именно здесь, в Греции, в VI в. до н. э. и про­изошло коренное преобразование способа из­учения геометрии, здесь и возникла она как наука.

Это было время установления демократии в большинстве греческих городов-государств, вре­мя бурного развития общественно-политической жизни Греции и появления научно-фило­софских школ. В этих школах ученые впервые в истории человечества пытались понять и объ­яснить устройство мира с естественнонаучной и философской точек зрения. До этого в стра­нах Древнего Востока господствовали догматы религии, в которые надо было верить, обсуж­дать их было нельзя. В Греции же каждая из школ старалась доказать правильность своей теории и опровергнуть противников, показав, что их доводы логически противоречивы. Логиче­ские рассуждения получили в это время ши­рокое применение не только в естественных науках и философии, но и в судах, и в народных собраниях.

Особенно большую роль сыграли логические рассуждения в геометрии — они-то и сделали из собрания геометрических фактов стройную науку. Сами греки связывали рождение геомет­рии с деятельностью Пифагора и его школы. О Пифагоре у нас нет почти никаких достоверных сведений; уже в древности его имя было окру­жено самыми фантастическими легендами. Из-

Развлечение с числами

В последовательности натураль­ных чисел зачеркните простое число р и все кратные ему. Из оставшихся чисел образуйте такую последователь­ность:

единица, сумма первых двух чи­сел, сумма первых трех чисел и т. д.

В получившейся последователь­ности снова зачеркните числа, крат­ные p, и опять образуйте после­довательность сумм таким же спо­собом, как первый раз.

Если указанную операцию выпол­нить р раз, причем в последний раз уже не производить никаких вычерки­ваний, то образовавшиеся числа бу­дут p-ми степенями натуральных чисел.

Пример. Пусть р=3. Тогда из последовательности натуральных чисел надо вычеркнуть числа

3, 6, 9, 12,...; из оставшейся последовательности

1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11,... образуем новую последовательность, как указано:

1, 3, 7, 12, 19, 27, 37, 48,..., вычеркивая числа, кратные 3, состав­ляем третью последовательность:

1, 8, 27, 64,...,

а это и есть последовательность кубов чисел натурального ряда: 13, 23, 33, 43, ..., как и было обещано!



294


вестно только, что Пифагор переселился около середины VI в. до н. э. с острова Самос в Южную Италию (так называемую Великую Грецию), где находились богатые греческие города-коло­нии, и основал там союз, имевший и политиче­ские и научные цели. Мы знаем выдающихся математиков V в. до н. э., которые называли себя пифагорейцами, Поэтому у нас есть все основания говорить о пифагорейской математи­ческой школе, хотя мы не знаем в точности, какие открытия были сделаны самим Пифагором, а какие принадлежат его последователям.

Что же сделали пифагорейцы в геометрии? Прежде всего они начали строить геометрию как абстрактную науку, изучающую общие свойства неких идеальных фигур, которые «в чистом виде» в природе не встречаются. Так в геометрию были введены линии, имею­щие только длину, но не имеющие ширины; точки, не имеющие ни длины, ни ширины; фигу­ры, составленные из таких линий, и т. д. Эти новые геометрические объекты являются от­влечениями, абстракциями от формы реальных физических тел. Например, прямая линия могла возникнуть как абстракция от формы туго на­тянутой веревки, струны, луча света и т. п. Но ясно, что мы никогда не сможем построить от­резок идеальной прямой: как бы точно мы его ни вычертили тушью или мелом, стоит только посмотреть на рисунок в сильную лупу, чтобы убедиться, что это вовсе не отрезок прямой, а неровная палочка из туши или мела.

Создание отвлеченных геометрических поня­тий было вовсе не легким делом. Далеко не все мыслители древности понимали их пользу. Так, например, софист Протагор не признавал геометрических абстракций. Он говорил, что никто не видел линий без ширины, не видел, чтобы круг касался линейки только в одной точке — касание всегда будет происходить по маленькому отрезочку, поэтому таких вещей и не существует.

Однако новая точка зрения на геометрию позволила в очень короткий срок добиться та­ких удивительных результатов, что большин­ство ученых признали эти абстракции и нача­ли с ними оперировать. Как же они это делали? Как вообще можно изучать свойства тех идеаль­ных фигур, с которыми имеет дело геометрия?

Величайшим достижением древних греков было то, что они создали метод для изучения геометрических абстракций, введя в математи­ку логические доказательства.

Рассмотрим, например, как можно установить, что сумма углов треугольника точно равна 2d.

Непосредственным измерением это сделать нельзя, во-первых, потому, что на практике мы никогда не имеем дела с идеальными треуголь­никами, и, во-вторых, потому, что измерение углов на практике всегда производится с определенной степенью точности, например с точностью до 1' или 1".

Но если бы даже мы и могли измерять иде­альные треугольники (с помощью идеальных инструментов!), то и тогда мы не могли бы уста­новить теорему о сумме углов любого треугольника, потому что различных треугольников бесконеч­но много, невозможно перебрать их все!

Но все сказанное можно дословно повторить и о любой другой теореме: она относится не к одной определенной геометрической фигуре (на­пример, к треугольнику со сторонами 3, 4, 5), а к целому классу фигур (например, ко всем треугольникам, или ко всем прямоугольным треугольникам, или ко всем равнобедренным треугольникам), причем каждый такой класс состоит из бесконечного множества отдель­ных фигур.

Древнегреческие ученые понимали, что уста­новить правильность какого-нибудь свойства для всех фигур некоторого класса можно толь­ко с помощью логического доказательства. Но как построить такую систему геометрии, в ко­торой все правильные предложения можно бы­ло бы доказать? И можно ли построить такую систему?

Построение дедуктивной системы

Во-первых, ясно, что все правильные пред­ложения доказать нельзя. Действительно, вспом­ним, как доказываются геометрические пред­ложения. При этом обычно опираются на неко­торые другие предложения, которые были до­казаны раньше. Эти предложения в свою очередь доказываются ссылками на какие-то третьи теоремы и т. д. Эти ссылки мы могли бы про­должать до бесконечности, и процесс доказа­тельства при этом никогда бы не закончился. Как же быть? Это обстоятельство заметили еще в древности, о нем говорил, например, Ари­стотель (IV в. до. н. э.). И вот геометры при­шли к удивительно смелой мысли, что все гео­метрические свойства тел нашего пространства можно вывести из небольшого числа основных предложений — аксиом. Эти предложения принимались без доказательств, их справедли-

295


вость подкреплялась многовековым опытом. Усилия многих геометров были направлены на то, чтобы отыскать все аксиомы, необхо­димые для построения геометрии. Система, в которой каждое предложение выводится на основании логических правил из конечного числа предложений, принятых без доказатель­ства, и получила название дедуктивной.

Первую такую систему геометрии — «Нача­ла» — пытался построить еще в V в. до н. э. Гиппокарт Хиосский. Было еще несколько попыток такого рода, но наиболее совершенная из них знаменитые «Начала» Евклида, которые были написаны около 300 г. до н. э. и слу­жили в течение более 2 тыс. лет образцом математической строгости.

Евклид разделил предложения, принятые без доказательства, на аксиомы и постулаты. В качестве постулатов он выбрал предложения, в которых утверждалась возможность выпол­нения некоторых простейших геометрических построений, например: 1) через две точки всег­да можно провести прямую линию, 2) из данной точки данным радиусом можно описать окруж­ность. Как нетрудно видеть, это именно те построения, которые можно сделать с помощью циркуля и линейки. Всякое построение в гео­метрии Евклида осуществляется с помощью последовательного выполнения простейших по­строений: проведения прямых, окружностей и отыскания их точек пересечения, поэтому геометрия Евклида есть геометрия циркуля и линейки.

Среди постулатов Евклида особое место за­нимает так называемый V постулат о парал­лельности. В «Началах» он формулируется так: если две прямые, лежащие в одной плоскости, пересечены третьей и если сумма внутренних



односторонних углов меньше 2d, то при про­должении прямые пересекутся с той стороны, где эта сумма меньше 2d (рис. 1). Этот постулат сыграл огромную роль в дальнейшем развитии геометрии, о чем мы будем говорить дальше.



Кроме постулатов, Евклид принял также некоторые общие предложения — аксиомы: 1) две величины, порознь равные третьей, равны между собой; 2) если к равным величинам при­бавить равные, то и суммы будут равны; 3) це­лое больше части и др.

На основе своих постулатов и аксиом Евклид развил всю планиметрию, а с ее помощью по­строил элементы алгебры и учение о квадратных уравнениях. В его сочинении содержатся также общая теория отношений, которая применяется в учении о подобии, теория чисел, метод опреде­ления площадей и объемов и основы стереометрии. Венчает «Начала» учение о правильных вы­пуклых многогранниках, т. е. таких, все грани которых являются равными правильными много­угольниками и все многогранные углы при верши­нах тоже правильные и равные. Евклид доказал, что существует пять правильных многогран­ников: тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр и додекаэдр — и никаких других правильных мно­гогранников не существует (рис. 2).

Можно сказать, что в «Началах» Евклида были заложены основы не только геометрии, но и всей античной математики.

На новую, более высокую ступень исследо­вания основ геометрии ученые поднялись толь­ко в XIX в. Тогда было выяснено, что Евклид перечислил не все аксиомы, которые на самом деле нужны для построения геометрии. В дей­ствительности при доказательствах он ими пользовался, хотя и не формулировал их. Однако все это нисколько не умаляет роли Евклида, который первым показал, как можно и как нужно строить математическую теорию. Созданный им дедуктивный метод прочно во-

296




Рис. 2. Правильные многогранники.

шел в математику. В этом смысле все последую­щие математики, вплоть до наших современни­ков, являются учениками Евклида.

При построении дедуктивной системы гео­метрии выяснилось, что доказательства служат не только для того, чтобы установить истин­ность некоторого предложения, но и для выяв­ления взаимосвязей между предложениями. Так, при анализе доказательства предложения о том, что сумма углов треугольника равна 2d, оказалось, что оно зависит от V постулата Ев­клида, тогда как, например, теорема о том, что внешний угол треугольника больше каждого внутреннего, с ним не смежного, от постулата параллельности не зависит.

Таким образом, доказательства помогают уяснить существо, смысл математических пред­ложений. В частности, можно в евклидовой геометрии выделить все те предложения, ко­торые доказываются без постулата параллель­ности,— они составляют так называемую абсолютную геометрию.

Постулат о параллельных и неевклидовы геометрии

Математики все время испытывали неко­торую неудовлетворенность, связанную с по­стулатом о параллельности, который, как мы видели, формулировался довольно сложно. Ка­залось, что его можно доказать, вывести из других постулатов и аксиом. Начиная с глубо­кой древности и до конца XVIII в. многие геометры пытались доказать этот постулат как теорему.

Однако все доказательства V постулата, которые были придуманы, либо содержали пря­мую ошибку, либо опирались на новое пред­ложение, которого не было среди постулатов и аксиом Евклида. При более тщательном ана­лизе всегда оказывалось, что это новое пред­ложение равносильно постулату о параллель­ности, т. е. из него можно вывести этот постулат и, наоборот, из V постулата можно получить это новое предложение. К началу XIX в. воп­рос о V постулате казался безнадежно запутан­ным. Но как раз в 20-х годах прошлого века было получено совершенно неожиданное реше­ние этого многовекового вопроса. Это решение было связано с совершенно новым взглядом на геометрию, к которому пришли независимо друг от друга три великих геометра: Н. И. Лоба­чевский, К. Ф. Гаусс и Я. Бояи.

297


Впервые в печати решение вопроса появи­лось в работе Н. И. Лобачевского в 1829 — 1830 гг. (эта работа была доложена Лобачев­ским в Казанском университете еще в 1826 г.), и несколько позже — в 1832 г.— было опубли­ковано исследование Бояи. Гаусс вообще не опубликовал те смелые выводы, к которым пришел.

Новая идея, которая легла в основу решения, состояла в следующем: геометрия Евклида не является единственной возможной геометрией, можно построить и другие системы геометрии, столь же стройные и непротиворечивые, как евкли­дова. При этом и Н. И. Лобачевский, и К. Ф. Гаусс были глубоко убеждены, что новая геометрия получит применение для описания и изучения геометрических свойств нашего пространства.

Такой взгляд противоречил двухтысячелетней традиции, благодаря которой сложилось убеждение, что геометрия Евклида столь же естественна, как смена дня и ночи, и что толь­ко она описывает пространственные соотно­шения между реальными телами.

Как же строить новые геометрические систе­мы? В XVIII в. геометры придумали новый способ доказательства V постулата. Они пред­полагали, что V постулат неверен, и старались прийти к противоречию, как это делается при доказательствах от противного. Действитель­но, если V постулат можно вывести из других постулатов и аксиом геометрии Евклида, т. е. он является теоремой, то предположение, что он неверен, должно было бы привести нас к противоречию. Однако как ни пытались гео­метры получить противоречие, им этого сделать не удавалось. Они получали все новые и новые следствия; некоторые из них выглядели пара­доксально, например: сумма углов треуголь­ника у различных треугольников различна, но всегда меньше 2d; линия, равноотстоящая от некоторой прямой (эквидистанта), сама не яв­ляется прямой; не существует подобных тре­угольников и вообще подобных фигур. Однако ни одно из следствий не противоречило другому следствию и остальным аксиомам евклидо­вой геометрии.

Лобачевский, Гаусс и Бояи пришли к убеж­дению, что противоречия и не получится, по­тому что V постулат не является теоремой в евклидовой геометрии. Что же в таком случае представляют полученные следствия? Оказы­вается — теоремы новой геометрии! Таким обра­зом, для построения новой геометрии нужно было заменить V постулат другим и вывести из новой системы постулатов и аксиом возможные следствия. Они-то и будут теоремами но­вой геометрии.

V постулату Евклида часто придают такую форму: через точку вне прямой в плоскости, определяемой этой точкой и этой прямой, мож­но провести только одну прямую, не пересе­кающую данной.

Если этот постулат не имеет места, то это означает, что: 1) либо можно провести по край­ней мере две прямые, не пересекающие данной (рис. 3), 2) либо таких прямых не существует вовсе (т. е. вообще нет параллельных прямых).



Второе из этих предположений легко при­водится к противоречию с другими аксиомами и постулатами Евклида. Первое же Н. И. Ло­бачевский выбрал в качестве нового постулата о параллельности. Он построил стройную систе­му геометрии, которая носит теперь его имя. При этом Н. И. Лобачевский показал, что гео­метрия Евклида может быть получена как пре­дельный случай новой геометрии.

Исследования Н. И. Лобачевского открыли новую эру в истории геометрии. Если до этого казалось, что в основном в геометрии все сде­лано уже самим Евклидом, то после создания неевклидовой геометрии открылись широкие возможности для новых геометрических изысканий.

В 60-х годах прошлого века немецкий математик Риман предложил новый метод построения всех неевклидовых геометрий, в которых можно мерить длины, площади, углы, объёмы (так называемых метрических геометрий). При этом он не ограничился случаем трехмерного пространства, а строил геометрии пространств любого числа измерений. Интересно отметить, что, в частности, он построил такую геометрию, в которой нет параллельных прямых. Конечно, для построения такой геометрии пришлось отказаться от некоторых других аксиом ев­клидовой геометрии.

Эта геометрия похожа на сферическую, ее называют эллиптической или геометрией Ри-

298


мана (в узком смысле слова, в отличие от общих римановых геометрий). В этой геомет­рии, так же как в геометрии Лобачевского, нет подобных фигур, но сумма углов треугольника в ней всегда больше 2d, а длины прямых линий ограничены.

Были предложены и другие методы построе­ния новых геометрий.

Но в связи с новыми геометриями встали и другие вопросы: геометрия Лобачевского отли­чается от евклидовой постулатом о параллель­ности. Что будет, если заменять и другие по­стулаты? Всегда ли при этом будут получаться новые системы геометрии? В каких случаях новые системы будут непротиворечивыми, т. е. в них нельзя доказать некоторую теорему и одновременно доказать, что эта теорема неверна?

Для ответа на эти вопросы ученые прежде всего вновь обратились к исследованию геомет­рии Евклида с тем, чтобы найти все аксиомы, нужные для ее построения, а затем уже изучить связи между этими аксиомами, посмотреть, что будет, если отбросить одну или несколько из них и заменить другими. Многие математи­ки конца прошлого века занимались этой проблемой, но впервые ее удалось решить немецкому математику Д. Гильберту в 1899 г. В его книге «Основания геометрии» была из­учена первая полная система аксиом геомет­рии Евклида и исследованы вопросы, о кото­рых мы говорили выше. Это направление иссле­дований привело к созданию современного аксиоматического метода, значение которого трудно переоценить.

Неевклидовы геометрии открыли новую эру не только в математике, но и в физике. Как и предвидели создатели этих геометрий, они сде­лались незаменимым математическим аппара­том многих важнейших частей современной физики, особенно теории относительности.

Более подробно о новых геометриях вы можете узнать из статьи «О различных гео­метриях».

Итак, мы видим, что возникновение геомет­рии как науки далеко не закончилось построе­нием системы евклидовой геометрии. Это было только начало, блестящее продолжение которого осуществилось в XIX в.

В настоящее время геометрия представляет большую, широко разветвленную науку, тесно связанную со всеми остальными разделами ма­тематики.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Что такое геометрия

Прежде чем завести разговор о геометриче­ских преобразованиях, остановимся на вопросе о самом содержании предмета геометрии; впо­следствии мы увидим, что к понятию геометри­ческого преобразования этот вопрос имеет са­мое непосредственное отношение.

Геометрия изучает свойства плоских фигур и пространственных тел. Однако в геометрии рассматриваются вовсе не все свойства фигур или тел. Ясно, например, что цвет или вес тела для геометра безразличен — геометрические свой­ства куба останутся одними и теми же незави­симо от того, идет ли речь о металлическом кубе или о кубе, сделанном из фанеры и окрашен­ном в красный цвет. (Заметим, что физиче­ские свойства этих двух кубов во многом будут различны.) Также и расстояние от вер-



шины изображенного на доске треугольника до края доски не интересует геометра. Один из двух равных между собой треугольников (рис. 1) расположен заметно ближе к краю MQ доски, чем второй; однако все геометрические свойства этих треугольников — их соответствен­ные стороны, углы, высоты, медианы, площади, радиусы вписанной и описанной окружностей, расстояние от центра описанной окружности до точки пересечения медиан и т. д.— будут оди­наковыми. Как же охарактеризовать тот круг свойств фигур и тел, который интересует геометра?

299








Рис. 4. Равные фигуры.

Все свойства тел, которые рассматриваются в геометрии, полностью определяются формой и размерами тела и никак не зависят от его рас­положения. Другими словами, это означает, что каждые две равные фигуры или два равных тела обладают в точности теми же самыми гео­метрическими свойствами; поэтому геометр не может иметь никаких оснований для того, что­бы как-либо различать эти фигуры или тела. Это обстоятельство подразумевается и самим названием «равные тела». Ведь «равные числа» в арифметике — это не что иное, как одно и то же число; так, 1/2 и 3/6 это одно и

то же число, только записанное по-разному. Точно так же в геометрии слова «равные фигу­ры» иногда заменяют выражением «одна и та же фигура». Так, например, говорят, что зада­ча построения треугольника АBС по двум сто­ронам ВС=а и АС=b и углу АСВ= имеет единственное решение (рис. 2). На самом деле существует, конечно, очень много (даже бесконечно много!) треугольников, имею­щих две стороны длин а и b и заключенный меж­ду ними угол величины у (рис. 3). Однако все эти треугольники равны между собой; поэтому мы их принимаем за один тре­угольник.

Вспомним теперь, какие фигуры или тела считаются в геометрии равными. Две фигуры F и F' (рис. 4) называются равными, если при наложении одной из них на другую они совпадают всеми своими точками, другими словами — если существует движение, при по­мощи которого можно совместить фигуру F с фигурой F'. Таким образом, само определение равенства фигур (или тел) связано с понятием движения. Учитывая определение равенства фигур, мы можем сказать, что фигуры, получаю­щиеся одна из другой движением, считаются в геометрии одинаковыми, не различаются между собой; все геометрические свойства од­ной из этих фигур совпадают с геометрическими свойствами другой фигуры. Последнее обстоя­тельство можно принять за определение геометрических свойств, т. е. тех свойств фигур и тел, которые изучаются геометрией: геометрия изучает те (и только те!) свойства фигур и тел, которые сохраняются при движениях.

Добавить документ в свой блог или на сайт
Ваша оценка этого документа будет первой.
Ваша оценка:

Похожие:

Решение задачи о раскрое фанеры iconВнимательно прочитайте решение типовых задач, а затем решите задачи для самоконтроля. Контрольные задачи будут выставлены до 17 ноября

Решение задачи о раскрое фанеры iconРешение одной интересной задачи

Решение задачи о раскрое фанеры iconЛичность как продукт общественно-исторического развития
Среди более чем пяти миллиардов людей на нашей планете не встретишь двух в точности похожий друг на друга. Эти громадные различия...

Решение задачи о раскрое фанеры icon"Личность как продукт общественно-исторического развития"
Среди более чем пяти миллиардов людей на нашей планете не встретишь двух в точности похожий друг на друга. Эти громадные различия...

Решение задачи о раскрое фанеры iconРешение задач (закон всемирного тяготения)

Решение задачи о раскрое фанеры icon4 Решение задач. Ответы на вопросы учащихся

Решение задачи о раскрое фанеры iconТема: «Закон Кулона. Решение задач»

Решение задачи о раскрое фанеры iconЭлективный курс: Решение задач по физике

Решение задачи о раскрое фанеры iconРешение Работы 3 (январь-февраль 2013) Задание 1

Решение задачи о раскрое фанеры iconРешение задач (закон всемирного тяготения)10 класс



База данных защищена авторским правом © 2018
обратиться к администрации | правообладателям | пользователям
поиск