4. Вынужденные колебания. Резонансные явления icon

4. Вынужденные колебания. Резонансные явления





Скачать 171.56 Kb.
Название4. Вынужденные колебания. Резонансные явления
Дата конвертации28.03.2013
Размер171.56 Kb.
ТипРешение






4. Вынужденные колебания. Резонансные явления


4.1. Вынужденные колебания


4.1.1.Упругая балка, на которой установлен двигатель, погнулась под его весом на y = 110 3 м. Определить частоту вращения ротора электродвигателя n0 при которой может возникнуть опасность резонанса.


Решение

1. Статический прогиб обусловлен силой тяжести электродвигателя, которая равна по модулю и противоположна по направлению реакции связи, вызванной упругостью балки

. (1)

2. Масса, соединённая с упругим элементом обладает собственной циклической частотой

. (2)

3. Совмещая уравнения (1) и (2), получим, по сути, значение частоты собственных незатухающих колебаний системы электродвигатель  упругая балка

(3)




4.1.2. Маневровый тепловоз массой m = 1,6105 кг имеет четыре рессоры жесткость каждой, из которых равна k = 500 кН/м. При какой скорости равномерного движения тепловоз будет наиболее сильно раскачиваться в направлении вертикальной оси, если расстояние между стыками рельс l = 12,8 м.


Решение

1. Раскачивание тепловоза вдоль вертикальной оси будет происходить вследствие толчков, получаемых колёсными парами на стыках рельс. Явление резонанса колебательной системы, состоящей из массы тепловоза m и четырёх упругих элементов жесткостью k , будет иметь место при совпадении частоты собственных колебаний системы с частотой следований импульсов на стыках рельсов.

2. Частота собственных колебаний тепловоза

, (1)

. (2)

3. Частота следования импульсов, обусловленных стыками

. (3)

4. Приравняем уравнения (2) и (3) исходя из условия совпадения собственной частоты и частоты возбуждающей силы

, (4)

. (5)


4.1.3. Через ручей переброшена длинная упругая доска. Когда девочка стоит посередине такого мостика, доска прогибается в средней части на расстояние y = 0,1 м. Когда же она переходит мостик со скоростью v = 3,6 км/час, то доска начинает так раскачиваться в вертикальном направлении, что возникает вероятность падения ребёнка в воду. Определить длину шага х.


Решение

1. Когда девочка стоит посередине доски, мо сила её веса уравновешивается силой, обусловленной упругостью доски

, (1)

где k  коэффициент упругости доски, m  масса девочки, y  статический прогиб доски.

2. Из уравнения (1) можно определить частоту собственных колебаний системы «девочка  доска»

. (2)

3. С другой стороны, частоту раскачивания доски можно выразить через длину шага х и скорость перемещения ребёнка по доске

. (3)

4. Возрастание амплитуды колебаний будет наблюдаться при совпадении частот

(4)


4.1.4. На осциллятор массы m без затухания с собственной частотой 0 действует периодическая вынуждающая сила F(t) = F0 cost. При каких начальных условиях будут протекать только вынужденные колебания? Найти закон изменения смещения x(t).


Решение

1. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний в общем виде можно представить следующим образом

(1)

. (2)

Так как осциллятор без затухания, то

, (3)

где 0  циклическая частота собственных колебаний осциллятора,   циклическая частота возмущающей силы, А*  амплитуда вынужденных колебаний, f0 =F0/m  приведённая амплитуда внешней силы.

2. Для определения начального смещения х0 подставим в уравнение вынужденных колебаний t =0

. (4)

3. Продифференцируем по времени уравнение колебаний (2)

. (5)

4. Уравнение колебаний в этом случае примет вид

. (6)


4.1.5. Определить через какой промежуток времени установятся вынужденные колебания с системе с добротностью Q = 106 при частоте собственных колебаний 0 = 5 крад/с при воздействии внешней возбуждающей периодической силы.


Решение

1. Добротность колебательной системы Q прямо пропорциональна циклической частоте собственных колебаний 0 и обратно пропорциональна удвоенному коэффициенту затухания 

. (1)

2. Время релаксации системы обратно пропорционально коэффициенту затухания

. (2)


4.1.6. Определить разность фаз между смещением и вынуждающей силой на резонансе смещения, если собственная частота колебаний равна 0 = 50 рад/с, коэффициент затухания = 5,2 с 1.


Решение

1. Разность фаз в режиме резонанса между смещением и вынуждающей силой определяется уравнением

. (1)

2. Резонансная частота может быть найдена с помощью уравнения

. (2)

3. Подставим в уравнение (1) значение резонансной частоты

. (3)

Внесём далее коэффициент затухания  под корень

. (4)


4.1.6. Определить, на сколько герц резонансная частота отличается от частоты собственных колебаний системы 0 = 1 кГц, характеризуемой коэффициентом затухания  = 400 с 1.


Решение

1. Циклическая частота резонансных колебаний системы определяется уравнением

. (1)

2. Частота резонансных колебаний

. (2)

3. Искомая разность частот

. (3)


4.1.7. Автомобиль массой m = 1 т проходит испытания на устойчивость к переменным нагрузкам, для чего через задний буксировочный крюк он соединён с упругим элементом жесткостью k = 0,7 МН/м. К автомобилю прикладывается гармоническая сила F(t) = 105 sin15t. Определить, пренебрегая сопротивлением воздуха и силами трения уравнение движения автомобиля.


Решение

1. В данном случае исследуемый движущийся объект имеет одну степень свободы, по этому для описания достаточно получить уравнение движения относительно одной, горизонтальной оси ох с началом отсчёта в положении автомобиля при недеформированном упругом элементе.

2. Начальные условия задачи при таком выборе системы отсчёта будут выглядеть следующим образом

. (1)

3. На автомобиль применительно к выбранной оси действуют две силы: сила, вызванная наличием упругого элемента Fk =  kx и внешняя гармоническая сила F(t) = F0 sint. Уравнение II закона Ньютона запишется так

, (2)

, (3)

, (4)

где   циклическая частота

; (5)

величина приведённой возбуждающей силы

. (6)

4. Уравнение (4) является дифференциальным уравнением второй степени с постоянными коэффициентами. Решение уравнения складывается из суммы решений, которые описывают собственные колебания системы и её колебания под действием периодической внешней силы

, (7)

где х1  общее решение, х2  частное решение. Характеристическое уравнение запишется следующим образом

. (8)

5. Уравнение (8) даёт возможность искать общее решение в виде

. (9)

6. Для определения вынужденных колебаний, т.е. частного решения х2 необходимо найти соотношение между циклическими частотами свободных и вынужденных колебаний. Так как  < , то имеют место вынужденные колебания малой частоты, при этом решение целесообразно искать в виде

, (10)

где А и В  коэффициенты подлежащие определению.

7. Подставим уравнение (10) в исходное уравнение (4)

, (11)

, (12)

, (13)

. (14)

8. Приравняем коэффициенты, стоящие в левой и правой частях уравнения (14) при соответствующих тригонометрических коэффициентах

, (15)

. (16)

9. Таким образом, частное решение уравнения (9) имеет вид

. (17)

10. Совместим далее уравнения (7), (9) и (17)

. (18)

11. Для определения постоянных С1 и С2 продифференцируем по времени уравнение (18)

. (19)

12. Подставим в уравнение (18) и (19) начальные условия задачи: t = 0, x = 0,

, (20)

, (21)

. (22)

13. Уравнение движения автомобиля, таким образом, запишется следующим образом

. (14)

14. Подставим в уравнение заданные по условию задачи величины в решение (14)

. (15)

. (16)

15. Первое слагаемое уравнения (16) определяет собственные колебания автомобиля с амплитудой А0 = 0,12 м, второе слагаемое описывает вынужденные колебания под действием периодической силы F(t) с амплитудой А1 = 0,2 м.


4.1.8. Описанные в предыдущей задаче испытания автомобиля проводятся при частичном включении тормозной системы, обеспечивающей силу сопротивления движению, пропорциональную скорости в первой степени R = v, где = 2,5105 кг/с. Получить уравнение движения.


Решение

1. Второй закон Ньютона в проекции на ось х (см. предыдущую задачу) представится следующим образом

, (1)

, (2)

где   разность фаз между возбуждающей силой и силой сопротивления, пропорциональной скорости

. (4)

3. Используя условия предыдущей задачи определим постоянные коэффициенты дифференциального уравнения (3)

. (5)

4. В данном случае движение автомобиля будет происходить при малом затухании, потому что  >  и  > , т.е. решение дифференциального уравнения (4) ищется в виде

, (6)

где х1  общее решение соответствующего однородного уравнения, х2  частное решение неоднородного уравнения, причём

, (7)

, (8)

, (9)

, (10)

. (11)

5. При  >  решение уравнения движения представляется в виде

. (12)

6. Проведём необходимые вычисления

, (13)

, (14)

. (15)

7. С учётом полученных величин, решение (12) перепишется в виде

. (16)

8. Для определения постоянных интегрирования С1 и С2 найдём производную по времени уравнения (16), т.е. получим уравнение скорости

(17)

9. Подставим в уравнение (16) начальные условия, аналогичные предыдущей задаче: t = 0, x = 0 и определим значение С1

. (18)

10. Для вычисления С2 в уравнение (17) подставим: t = 0,

, (19)

. (20)

11. Подставим полученные значения в уравнение (16)

(21)

12. Преобразуем полученное решение к следующему

(22)

Наличие перед круглой скобкой экспоненциального множителя с отрицательным показателем степени, говорит о том, что собственные колебания, протекающие с частотой , достаточно быстро исчезнут и автомобиль будет двигаться, совершая вынужденные колебания с циклической частотой .


4.2. Явление резонанса


4.2.1. Период собственных колебаний пружинного маятника равен Т0 = 0,55 с. При погружении маятника в вязкую жидкость период стал равным Т = 0,56 с. Найти резонансную частоту колебаний.


Решение

1. Определим циклическую частоту собственных колебаний маятника

. (1)

2. Запишем уравнение периода затухающих колебаний из которого выразим коэффициент затухания 

, (2)

, (3)

. (4)

3. Уравнение резонансной частоты колебаний

, (5)

. (6)


4.2.2. К пружине жёсткостью k = 10 Н/м подвешено тело массой m = 0,1 кг. Тело совершает вынужденные колебания в среде, обладающей сопротивлением r = 210 2 кг/с. Найти коэффициент затухания  и величину амплитуды резонансных колебаний, если амплитуда возмущающей силы равна F0 = 0,01 Н.


Решение

1. На тело действуют три силы: сила тяжести, сила сопротивления , сила упругости и возбуждающая сила. Уравнение второго закона Ньютона в данном случае содержит необходимые для решения постоянные коэффициенты

, (1)

, (2)

где  коэффициент затухания;  квадрат собственной циклической частоты, .

2. Оценим влияние силы сопротивления на изменение частоты колебаний

. (3)

3. Найдём амплитуду вынужденных колебаний

. (4)


4.2.3. Колебательная система совершает вынужденные колебания в среде с коэффициентом сопротивления r = 10 3 кг/с. Считая затухание малым определить амплитудное значение возмущающей силы, если на резонансе амплитуда колебаний составила AR = 510 3 м, собственная частота колебаний системы составляет 0 = 10 Гц.


Решение

1. Амплитуда резонансных колебаний определяется уравнением

. (1)

2. Ввиду малости затухания, уравнение (1) можно переписать следующим образом

, (2)

откуда амплитудное значение возбуждающей силы определяется как

. (3)


4.2.4. Частота свободных колебаний системы  0 = 100 с 1, резонансная частота R = 99 с 1. Найти добротность этой колебательной системы.

1. Добротность колебательной системы определяется уравнением

. (1)

2. Коэффициент затухания определим из следующих соображений

. (2)

3. Совместим уравнения (1) и (2)

. (3)


4.2.5. К телу массой m = 0,1 кг колеблющемуся в вязкой среде с начальной амплитудой Amax = 7 мм внезапно начинает действовать внешняя периодическая сила. Тело начитает совершать вынужденные колебания

.

Записать уравнение собственных колебаний тела, если коэффициент затухания равен  = 1 с 1.


Решение

1. Поскольку результирующее колебание получилось периодическим, то можно полагать, что внешняя сила тоже имеет периодические свойства. Другими словами, на тело действуют три силы: сопротивления (будем считать её пропорциональной скорости) FS =  rv; упругости Fk =  kx и внешняя возбуждающая сила F(t) = F0cost. Дифференциальное уравнение движения представится следующим образом

. (1)

2. Собственным колебаниям соответствует решение однородной части уравнения (1)

. (2)

3. Разность фаз между свободными и вынужденными колебаниями, заданная по условию задачи даёт возможность определить циклическую частоту собственных колебаний следующим образом

, (3)

. (4)

4. С учётом значения 0 уравнение собственных колебаний представится следующим образом

. (5)


4.2.6. Тело массой m = 2 кг соединено с вертикальной пружиной жёсткостью k = 5 кН/м. Получить зависимость амплитуды колебаний от частоты возбуждающей гармонической силы при прохождении частоты резонанса. Известно, что амплитудное значение внешней силы составляет F0 = 9,8 Н, коэффициент затухания собственных колебаний   = 0,75 с 1.


Решение

1. Период собственных колебаний тела, соединённого с пружиной можно представить двумя уравнениями, из которых следует циклическая частота

. (1)

2. Определим величину приведённой внешней силы

. (2)

3. Амплитуда вынужденных колебаний

. (3)

4. Для построения зависимости А = f() зададимся следующими значениями циклической частоты возмущающей силы

4.1.  = 0 (состояние резонанса)

. (4)

4.2.  = 0,950

. (5)

4.3.  = 0,90

. (6)

4.4  = 0,70


. (7)

4.5.  = 0,50






4.2.7. Колебательная система совершает затухающие колебания с частотой  = 1 кГц. Определите частоту 0 собственных колебаний, если частота резонанса равна R = 998 Гц.


Решение

1. Запишем уравнения для частоты затухающих и резонансных колебаний, образуем систему и разрешим её относительно искомой величины

(1)

. (2)


4.2.8. Установка для исследования индивидуальных средств безопасности пассажиров автотранспорта совместно с манекеном обладает массой m = 510 кг. К установке прикладывают горизонтальную возбуждающую гармоническую силу

,

где F0 = 4104 Н  амплитуда возмущающей силы,  = 60 с 1  циклическая частота возмущающей силы. Установка соединена с вертикальной стеной упругим элементом жёсткости k = 1,7106 Н/м. Определить уравнение движения установки.


Решение

1. Дифференциальное уравнение движения в проекции на горизонтальную ось в данном случае представится следующим образом

, (1)

2. Поделим уравнение (1) на m

, (2)

3. Введём стандартные обозначения и вычислим циклическую частоту собственных колебаний системы

. (3)

4. Перепишем уравнение (2) с учётом обозначений (3)

. (4)

5. Сравнение величин  и  показывает, что колебания происходят в области резонанса, но тем не менее  < 

6. Уравнение (4) совпадает с уравнением (4) задачи 4.1.6, поэтому воспользуемся результатом интегрирования и запишем решение в виде

. (5)

7. Ввиду того, что    будем иметь следующие соотношения

. (6)

8. Перепишем уравнение (5) следующим образом

, (7)

или

. (8)

9. Преобразуем выражение, стоящее в скобках

. (9)

10. С учётом уравнения (9) уравнение (8) можно представить так

, (10)

где

. (11)

11. При    величина a(t) является медленно изменяющейся во времени с циклической частотой

, (12)



и периодом . Другими словами, будет иметь место процесс биений, т.е. гармонических колебаний с периодом Т = 2/, амплитуда которых изменяется по закону синуса с малой циклической частотой, определяемой уравнением (12). Вынужденные колебания протекают с периодом Т = 2/ = 0,1 с.

12. Вычислим величину a(t)

. (13)

13. Уравнение (10), описывающее движение исследуемой установки можно в окончательном виде записать следующим образом

. (14)


4.2.9. Простейшая конструкция прибора для измерения параметров вибраций, которая, кстати, применяется и в сейсмографах, представляет собой массу, присоединённую к вертикальной пружине. Перемещение массы вызывает изменение одной из электрических величин: сопротивления, ёмкости, индуктивности, ЭДС индукции и т.п., которые включаются в схемы регистрации.

Пусть виброметр представляет собой пружину жёсткостью k = 1 кН/м с присоединенной массой m = 10 кг. Прибор для калибровки поместили на рабочий стол, совершающий колебания в соответствие с уравнением: = a sin t, где а = 5 мм амплитуда колебаний рабочего стола, = 16 с 1 частота колебаний стола вибростенда. Записать уравнение колебаний скользящего контакта относительно сопротивления R.


Решение

1. Предположим, что в начальный момент времени масса находится в покое в положении статического равновесия. Ось х, вдоль которой происходит движение, направлена вертикально вниз, т.е. совпадает с направлением вектора ускорения свободного падения. Начальные условия задачи в этом случае можно записать следующим образом:

при t = 0 x = x0 = 0, . (1)

2. В неподвижном состоянии основания виброметра упругий элемент имеет удлинение равное . При смещении основания виброметра полное удлинение пружины составит

, (2)

где   смещение корпуса прибора совместно с рабочим столом вибростенда.

3. К массе приложены две силы: сила тяжести mg, направленная вертикально вниз и сила упругости пружины, направленная, в связи с удлинением, вертикально вверх

. (3)

4. Дифференциальное уравнение движения будет иметь традиционный вид второго закона Ньютона

, (4)

. (5)

5. В положении статического равновесия , то можно считать, что , при этом дифференциальное уравнение движения примет вид

. (6)

, (7)

, (8)

где = 10 с 1  циклическая частота собственных колебаний, 0,5 мс2  значение приведённой внешней силы.

6. Решение уравнения (8) представляет собой сумму решений однородного уравнения и частного решения

, (9)

. (10)

7. Для определения постоянных интегрирования вычислим производную по времени уравнения (10)

. (11)

8. Подставляя в уравнения (10) и (11) начальные условия из соотношений (1), получим

. (12)

9. Уравнение движения контакта, соединённого с массой представится с учётом значений постоянных интегрирования следующим образом

. (13)

Подставим в уравнение (13) заданные значения величин

. (14)

10. С чётом силы сопротивления, которая пропорциональна скорости движения свободные колебания, определяемые первым слагаемым уравнений (13) и (14) быстро затухнут, масса будет совершать только вынужденные колебания

, (15)

. (16)


2.4.10. Танк, проехав по мокрой грунтовой дороге, оставил два ряда углублений, расположенных на расстоянии l = 8 м друг от друга. Через некоторое время по дороге проехал легковой автомобиль массой М = 1,3 т, который попав в резонанс стал испытывать ощутимые вертикальные колебания. С какой скоростью двигался автомобиль, если под действием массы четырёх пассажиров m = 300 кг подвеска автомобиля «проседает» в состоянии покоя на х = 2 см.


Решение

1. По величине статической реакции подвески автомобиля определим коэффициент её жесткости

. (1)

2. Частота собственных колебаний автомобиля

. (2)

3. Скорость движения автомобиля, соответствующая резонансным колебаниям

(3)

Добавить документ в свой блог или на сайт
Ваша оценка этого документа будет первой.
Ваша оценка:

Похожие:

4. Вынужденные колебания. Резонансные явления iconПревращение энергии при колебательном движении. Затухающие колебания. Вынужденные колебания. Цели урока

4. Вынужденные колебания. Резонансные явления iconОтвета Определение колебательного движения. Свободные колебания. Превращения энергии. Вынужденные колебания. Механическими колебаниями

4. Вынужденные колебания. Резонансные явления iconТема урока : Свободные и вынужденные электромагнитные колебания

4. Вынужденные колебания. Резонансные явления iconЗатухающие осцилляции в lc – контуре Вынужденные гармонические колебания

4. Вынужденные колебания. Резонансные явления iconТема учебного занятия: «Свободные и вынужденные электромагнитные колебания. Колебательный контур. Превращение энергии при электромагнитных колебаниях»

4. Вынужденные колебания. Резонансные явления iconЯвления и факты: прямолинейное движение, свободное падение тел, движение по окружности с постоянной по модулю скоростью, механические колебания и волны в том ч

4. Вынужденные колебания. Резонансные явления iconМеханические колебания. Свободные колебания. Математический маятник. Уравнение гармонического колебания. Превращение энергии при гармонических колебаниях

4. Вынужденные колебания. Резонансные явления iconЛекция №12. Резонанс в электрических цепях. Резонанс токов. Резонансные и частотные характеристики параллельной rlc-цепи

4. Вынужденные колебания. Резонансные явления iconУрок на тему «Механические колебания»
Исходная энергия механических колебаний и ее преобразование в процессе колебания

4. Вынужденные колебания. Резонансные явления iconМеханические колебания и волны. Гармонические колебания



База данных защищена авторским правом © 2018
обратиться к администрации | правообладателям | пользователям
поиск